2019학년도 9월 평가원모의고사 30번

풀이 먼저 $y=g(x)$의 그려 보자. 

$g^{\prime}(x)=-2x^3 (x-4)=0$에서 $x=0$과 $x=4$에서 극솟값과 극댓값을 가진다.

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=0}$이므로 그래프 개형은 아래와 같다. 

4차함수 그래프 개형을 생각해 보면 최솟값이 극솟값임을 쉽게 알 수 있다. $x=\alpha$에서 최솟값 $0$을 가진다고 하자. 

$$f(\alpha)=f^{\prime}(\alpha)=0$$

따라서 $\alpha$는 방정식 $f(x)=0$의 이중근임을 알 수 있다. 이중근을 하나만 가진다면 (가)에서 방정식 $h(x)=f(g(x))=0$는 많아야 근이 3개이므로 또 다른 이중근($\beta$)이 있어야 한다. 정리하면 함수 $f(x)$는 아래와 같은 꼴이다.

$$f(x)=\frac{1}{2}(x-\alpha)^2 (x-\beta)^2$$

(가)를 만족하기 위해선 $0<\alpha<g(4)=2^9/e^4$라고 한다면 $\beta=0$이거나 $g(4)<\beta$라야 한다.

나중에 필요하므로 도함수도 미리 구해 두자.

$$f^{\prime}(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(2x-\alpha-\beta)$$

(나)를 보자. 함수 $h(x)$의 극값을 살펴보기 위해 도함수를 구해야 한다.

$$h^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)=(g(x)-\alpha)(g(x)-\beta)(2g(x)-\alpha-\beta)g^{\prime}(x)=0$$

에서 $g(x)=\alpha$의 근을 각각 $a_1,a_2,a_3$, $g(x)=\beta$의 근을 $b_1$, $g(x)=\frac{\alpha+\alpha}{2}$의 근을 각각 $c_1,c_2,c_3$이라 하자.

$\beta\not =0$이라 하고 증감을 조사해 보면 $x=0$에서 극댓값을 가진다. 따라서 $\beta=0$이고 $b_1 =0$이다.

방정식 $h^{\prime}(x)=0$의 근은 아래와 같다.

$$a_1<r_1<0<r_2<a_2<4<a_3<r_3$$

이고 $h(a_1)=h(a_2)=h(a_3)=f(\alpha)=0$,  $h(c_1)=h(c_2)=h(c_3)=f\bigg(\frac{\alpha}{2}\bigg)$이다.

그래프를 그려서 (다)를 만족하는 값을 찾아보면

$$f\bigg(\frac{\alpha}{2}\bigg)=\frac{1}{2}\bigg(\frac{\alpha}{2}\bigg)^4 =8$$

이다. $\alpha=4$이므로 $f^{\prime}(5)=30$이다.