2018학년도_수학 가형 29번 풀이

29. 좌표공간에 $x^2 +y^2+ z^2=6$이 평면  $x+2z-5=0$와 만나서 생기는 원 $C$가 있다. 원 $C$ 위의 점 중 $y$좌표가 최소인 점을 $P$라 하고, 점 $P$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발을 $Q$라 하자. 원 $C$를 움직이는 점 $X$에 대하여 $|\overrightarrow{PX}+\overrightarrow{QX}|^2$의 최댓값은 $a+b\sqrt{30}$이다. $10(a+b)$의 값을 구하시오.(단, $a$와 $b$는 유리수이다.)[4점]

공간도형 문제는 언제나 어렵게 느껴진다. 올해는 그래도 주어진 평면이 $y$축과 평행하므로 좀 쉬운 느낌이다. 지오지브라로 그림을 그렸다. 원 $C$의 중심은 $yz$ 평면에서 원 $x^2 +z^2 =6$과 직선 $x+2z-5=0$이 만나는 점의 중점이므로 $C_0(1,0,2)$이다. 원의 반지름은 $1$임을 쉽게 알 수 있다. 

따라서 $y$좌표가 최소인 점은 $P(1,-1,2)$이고 점 $P$에서 $xy$평면에 내린 수선의 발은 $Q(1,-1,0)$이다.

이제 $X(x,y,z)$라고 놓자. 주어진 벡터를 위치벡터로 나타내고 정리하자.

$\overrightarrow{PX}+\overrightarrow{QX}=(x-1,y+1,z-2)+(x-1,y+1,z)=2(x-1,y+1,z-1)$

$|\overrightarrow{PX}+\overrightarrow{QX}|^2=4\{(x-1)^2 +(y+1)^2 +(z-1)^2\}$인데 여기서 

$(x-1)^2 +(y+1)^2 +(z-1)^2$의 최댓값은 점 $R(1,-1,1)$에서 원 위에 있는 점 $X$ 가운데 가장 멀리 떨어진 점 $X_M$까지 거리의 제곱이다. 점 $R$에서 평면에 내린 수선의 발을 $R^{\prime}$이라고 하자.

$$\overline{RR^{\prime}}=\frac{2}{\sqrt5},\;\;\overline{C_0R}=\sqrt2$$

$$\overline{C_0 R^{\prime}} =\sqrt{\overline{C_0R}^2 -\overline{RR^{\prime}}^2}=\sqrt{\frac{6}{5}}$$

$$ \overline{RX_M}^2 =\overline{RX_M}^2+\overline{RR^{\prime}}^2=\bigg(1+\sqrt{\frac{6}{5}}\bigg)^2 +\bigg(\frac{2}{\sqrt5}\bigg)^2$$

$$=3+\frac{2}{5}\sqrt{30}$$

$$4\overline{RX_M}^2 =12+ \frac{8}{5}\sqrt{30}$$

$$\therefore \;\;a=12, b=\frac{8}{5}\sqrt{30}$$

$$10(a+b)=136$$