2016학년도 수시모집 카이스트 면접문제
수학이야기/면접논술 2018. 11. 6. 11:29문제1 2이상인 자연수n에 대하여 0≤x≤1에서 정의된 함수 fn(x)=nx(1−x)n1+(nx−1)2가 있다.
1) ddxfn(x)=0이 되는 x가 0과 1 사이에 존재함을 보이시오(2점)
2) gn(x)=nx(1−x)n,,hn(x)=11+(nx−1)2,0≤x≤1 이라 할 때, 함수 gn(x)와 hn(x)의 증가, 감소 구간을 구하시오(3점)
3) fn(x)가 x=an에서 최댓값을 가진다고 하자. 문제 2)의 결과를 이용하여 limn→∞fn(an)을 구하시오(5점)
풀이
1) fn(0)=fn(1)=0이고 fn는 닫힌구간 [0,1]에서 연속이고 열린구간 (0,1)에서 미분가능하다. 따라서 롤의 정리에 따라 dfn(x)dx=0인 x가 적어도 하나 존재한다.
2) g′(x)=n(1−x)n+n2x(1−x)n−1(−1)=n(1−x)n−1(1−x−nx)=0이므로 함수 gn(x)는 0≤x≤1n+1에서 증가 1n+1≤x≤1에서 감소한다.
또한 h′(x)=−2n(nx−1)(1+(nx−1)2)2이므로 함수 hn(x)는 0≤x≤1n에서 증가 1n≤x≤에서 감소한다.
3) 2)에 의하여 fn(x)가 an에서 최댓값을 가진다고 하면 1n+1≤an≤1n이다. 따라서
fn(an)은 x∈[1n+1,1n]일 때, gn(x)×hn(x)의 최댓값과 같은데 이 값은 두 함수의 최댓값의 곱보다 작고 최솟값의 곱보다 크다.
gn(1n)×hn(1n+1)≤gn(x)×hn(x)≤gn(1n+1)×hn(1n)
문제 2 중심이 원점이고 초점이 x축 위에 있는 타원이 있다. 이 타원의 장축의 길이가 2a이고 단축의 길이가 2b일 때, 이 타원을 Ea,b라고 하자.(a>b>0)
1) 음함수의 미분법을 이용하여 타원 Ea,b 위의 점 (x0,y0)에서의 접선의 방정식을 구하시오(2점)
2) 타원 Ea,b 밖의 점 P1=(x1,y1)에서 타원 Ea,b에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오(3점)
3) 어떤 실수 t1에 대하여 P1=(2acost1,2bsint1)이라고 하자. P1에서 타원 Ea,b에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 구하시오. 또한, 세 꼭짓점이 모두 타원 E2a,2b위에 있고 세 변이 모두 타원 Ea,b와 접하는 삼각형을 구하시오(5점)
풀이
타원 Ea,b의 방정식은 b2x2+a2y2=a2b2이다.
음함수의 미분법으로 미분하면
2b2x+2a2ydydx=0
dydx=−b2xa2y
따라서 (x0,y0)에서 접선의 기울기는 dydx|(x0,y0)=−b2x0a2y0
이다. 따라서 접선의 방정식은
y−y0=−b2x0a2y0(x−x0)
정리하면
b2x0x+a2y0y=a2b2
2) 먼저 점 P1=(x1,y1)에서 타원 Ea,b에 두 개의 접선을 그을 때 만들어지는 두 접점을 각각 A(x0,y0),B(x2,y2)라고 하자.
1)에 따라 두 접선은 각각 b2x0x+a2y0y=a2b2 , b2x2x+a2y2y=a2b2
이다.
이 두 직선이 모두 P1=(x1,y1)을 지나므로
b2x0x1+a2y0y1=a2b2 , b2x2x1+a2y2y1=a2b2
이 성립한다.
이 두 방정식은 직선 b2x1x+a2y1y=a2b2이 두 점 A(x0,y0),B(x2,y2)을 지나는 것을 나타낸다고 볼 수 있다. 따라서 두 접점을 지나는 직선의 방정식은 b2x1x+a2y1y=a2b2이다.
3) 2)에서 구한 바를 활용하면 점 P1=(2acost1,2bsint1)에서 그은 두 접점을 지나는 직선의 방정식은
b22a(cost1)x+a22b(sint1)y=a2b2이다. 정리하면 2b(cost1)x+2a(sint1)y=ab
이다.
한편, 접점은 타원 b2x2+a2y2=a2b2위의 점이므로 (acost2,bsint2)라고 놓을 수 있다. 이 점이 위에 적은 직선 위에 있으므로 2bcost1acost2+2asint1bsint2=ab
이고 이를 정리하면
cost1cost2+sint1sint2=12
이다.
삼각함수의 덧셈정리에 따라
cos(t1−t2)=12이므로 t1−t2=±π3이다.
따라서 두 접점을 구하면 (acos(t1±π3),bsin(t1±π3))이다.
반지름이 각각 r,2r인 두 원을 생각하면 큰 원에 내접하고 작은 원에 외접하는 정삼각형이 존재한다. 이 두 원을 주어진 타원으로 아래와 같이 변환하면 문제에서 요구하는 삼각형을 그릴 수 있다.
x′=rax,y′=rby
또 다른 방법은 위에서 구한 접선의 방정식을 활용하는 것이다. 타원 Ea,b 위의 점 에(acost2,bsint2)서의 접선의 방정식은
b(cost1)x+a(sint1)y=ab
이다. 이 접선이 타원 E2a,2b와 만나는 점을 P=(2acost,2bsint)라고 하면
t=t2±π3
점 (acost2,bsint2)은 타원 E2a,2b이 만나는 두 점의 중점이다. 따라서 타원 E2a,2b 위의 점에서 타원 Ea,b 에 그은 접선이 타원 E2a,2b와 만나는 점을 연결하면 문제에서 요구하는 삼각형을 얻을 수 있다.
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