1권_명제 8

Proposition 8.

If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, and also have the base equal to the base, then they also have the angles equal which are contained by the equal straight lines.

두 삼각형이 두 변이 서로 같고 밑변도 서로 같다면 각도 서로 같다.

이 명제는 삼각형이 합동이 될 세 가지 정리 SAS, SSS, ASA합동 가운데 두 번째 정리다. '합동'은 현대에 와서 정의한 것으로 유클리드는 합동을 따로 정의하지 않고 두 삼각형이 포개져 꼭 들어 맞으면 '두 삼각형이 같다.'고 정의했다. 명제 4에서 이미 SAS합동을 보였고 명제 26에 ASA합동이 나온다. 이 명제도 아주 당연해 증명할 필요가 있을까 생각할 것이다. 유클리드는 그렇게 생각하지 않았다. 당연해 보이는 것도 당연하다고 받아들이지 않은 것이 바로 유클리드가 보통 사람과 다른 점이다. 이 점이 바로 '원론'을 다른 책보다 뛰어나다고 말하는 까닭이다.

먼저 두 변이 $\overline{AB}$, $\overline{AC}$가 $\overline{DE}$, $\overline{DF}$가 각각 같고 밑변 $\overline{BC}$와 $\overline{EF}$가 같다고 가정하자. 즉

$$\overline{AB}=\overline{DE},\;\;\;\overline{AC}=\overline{DF},\;\;\;\overline{BC}=\overline{EF}$$

이라고 하자.

점 $B$를 점 $E$와 포개 놓고 직선 $BC$와 $EF$를 포개 놓으면  $\overline{BC}=\overline{EF}$이므로 점 $C$와 $F$는 포개어진다.

따라서 두 변 $BC$와 $EF$가 일치한다.

$$\overline{AB}=\overline{DE},\;\;\;\overline{AC}=\overline{DF}$$

인 두 직선이 만나는 점을 $G$라고 하면 앞선 명제 7에 따라 그림처럼 $D$와 포개어 지지 않을 수 없다.

점 $G$와 $D$가 일치하므로 $\angle{BAC}=\angle{EDF}$이다.

그러므로 $$\triangle{ABC}\equiv\triangle{DEF}\tag{명제 4}$$

$\blacksquare$