1권_명제 7

Proposition 7.

Given two straight lines constructed from the ends of a straight line and meeting in a point, there cannot be constructed from the ends of the same straight line, and on the same side of it, two other straight lines meeting in another point and equal to the former two respectively, namely each equal to that from the same end.

선분의 양 끝 점 시작해서 한 점에서 만나는 두 직선을 그었다면, 같은 선분의 양 끝 점에서 주어진 두 직선과 각각 같은 직선으로 같은 쪽에 있는 다른 점에서 만나게 할 수는 없다.

결론을 부정하자.

길이가 각각 같은 두 선분이 서로 다른 점 $A$와 $D$에서 만난다고 하자.

$$\overline{AB}=\overline{DB}\tag{1}$$

$$\overline{AC}=\overline{DC}\tag{2}$$

(1)이므로 

$$\angle{BAD}=\angle{BDA}\tag{p-5}$$

$\angle{BDA}$는 $\angle{CAD}$보다 크다.

따라서 $\angle{CDA}$는 $\angle{CAD}$보다 확실히 크다.

그런데 (2)이므로 

$$\angle{CAD}=\angle{CDA}\tag{p-5}$$인데 이것은 모순이다.

따라서 서로 다른 두 점에서 만날 수 없다.

$\blacksquare$

유클리드는 위 그림처럼 점 $D$가 삼각형$ABC$ 밖에 있는 경우만 증명했다. 엄밀함을 추구하는 유클리드를 생각하면 이례적이다. 안쪽에 있는 경우도 쉽게 보일 수 있다.