2019 수학능력시험 수학 가형 29번

29. 좌표평면에서 넓이가 9인 삼각형 $ABC$의 세 변 $AB$, $BC$, $CA$ 위를 움직이는 점을 각각 $P,Q,R$라 할 때,

$$\overrightarrow{AX}= \frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AR})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AQ}$$

를 만족시키는 점 $X$가 나타내는 영역의 넓이가 $\displaystyle{\frac{q}{p}}$이다.

$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)    [4점]

풀이) 일반적으로 해결하기 귀찮아서 적당한 점으로 정해두고 푼다.

벡터는 위치벡터로 생각하면 좋으니 $A(0,0)$로 놓자.

삼각형 $ABC$는 넓이가 $9$라 했으므로 $B(3,6), C(3,6)$이라고 하자.

$P(a,0),Q(3,b),R(c,2c)$로 놓을 수 있다.

여기서 $$0\leq a \leq 3, 0\leq b\leq 6, 0\leq c \leq 3 \tag{1}$$

점 $X(x,y)$라 하면 주어진 식을 성분으로 간단하게 나타낼 수 있다.

$$(x,y)=\frac{1}{4}((a,0)+(c,2c))+\frac{1}{2}(3,b)$$

$$x=\frac{1}{4}(a+c+6)\tag{2}$$

$$y=\frac{1}{2}(c+b)\tag{3}$$

(1)에서 $0\leq a+c \leq 6, \;\;\;0\leq c+b \leq 9$이므로

$$\frac{3}{2}\leq x \leq 3, \;\;\;0\leq y \leq \frac{9}{2}\tag{4}$$

$4\times (2)-2\times (3)$을 정리하면

$4x-2y=a-b+6$이고 $-6\leq a-b\leq 3$이므로

$$0\leq 2x-y\leq \frac{9}{2}\tag{5}$$

부등식 (4), (5)가 나타내는 영역은 아래 그림과 같다.

그림에 있는 영역 넓이는 직사각형에서 작은 삼각형 2개의 넓이를 빼면 되므로

$$\frac{3}{2}\times\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\frac{3}{2}\times 2=\frac{45}{8}$$

이다.

그러므로 $p+q=45+8=53$이다.

$\blacksquare$