이차곡선(conic section)

$x$와 $y$에 대한 이차방정식 $Ax^2 +By^2 +Cxy+Dx+Ey+F=0$ $ (A\not=0$ 또는 $B\not=0$ 또는 $C\not =0)$으로 나타내어지는 곡선을 이차곡선이라 한다. 일반적으로 원 , 포물선, 타원, 쌍곡선은 모두 이차곡선이다.

 

1. 원(circle)

한 정점에서 일정한 거리에 있는 점들의 집합을 원이라고 한다. 정점을 `C (a,b)` 일정한 거리를 `r`이라 할 때, 원 위의 점 `P(x,y)`의 `x`와 `y`사이의 관계를 방정식으로 나타내면 `\sqrt{(x-a)^2 +(y-b)^2} =r`이므로 `(x-a)^2 +(y-b)^2 =r^2`이다.

1. 포물선(parabola)

한 정점과 정직선에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라고 한다.  

그림 가져온 곳 : http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html

정점 `F(a,0)`과 정직선 `x=-a`에 이르는 거리가 같은 점`P(x,y)`의 `x`와 `y`사이의 관계를 방정식으로 나타내보자. `P`에서 직선에 이르는 거리는 `|x+a|`이고 `\overline{PF}`의 길이는 `\sqrt{(x-a)^2 +y^2 }`이다.

`|x+a|=\sqrt{(x-a)^2 +y^2 }`양변을 제곱하여 정리하면

`x^2 +2ax+a^2 =x^2 -2ax+a^2 +y^2`

`y^2 =4ax`이다.

정점 `F(a,0)`를 초점(focus)이라 하고 정직선 `x=-a`를 준선(derectrix)이라고 한다.  

그림처럼 준선과 수직인 방향(혹은 포물선의 대칭축과 평행)으로 진행하는 빛은 모두 초점에 모인다. 그리스 수학자Menaechmus는 원뿔과 평면의 교선으로 연구하였다.

 

 

1. 타원(ellipse)

두 정점에 이르는 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 한다.  

그림 가져온 곳 : http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html

두 정점 `F(c,0)`, `F'(-c,0)`에 이르는 거리의 합이 `2a`인 점`P(x,y)`의 `x`와 `y`사이의 관계를 방정식으로 나타내보자. $$\overline{PF}+\overline{PF'}=2a$$

$$\sqrt{(x-c)^2 +y^2 }+\sqrt{(x+c)^2 +y^2} =2a$$이다.

$$\sqrt{(x-c)^2 +y^2 }=2a-\sqrt{(x+c)^2 +y^2}$$양변을 제곱하여 정리하면

$$(a^2 -c^2 )x^2 +a^2 y^2 =a^2(a^2-c^2 )$$

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1 (단, a>b>0, b^2 = a^2 -c^2)$$ 이다.

정점 `F(c,0), F'(-c,0)`를 초점이라 한다. 가장 긴 현을 장축 가장 짧은 현을 단축이라고 한다. 단축과 장축을 교점을 타원의 중심이라고 한다.

1. 쌍곡선(hyperbola)

두 정점에 이르는 거리의 차가 일정한 점들의 집합을 쌍곡선이라고 한다.  

그림 가져온 곳 : http://mathworld.wolfram.com/Hyperbola.html

두 정점 `F(c,0)`, `F'(-c,0)`에 이르는 거리의 차가 `2a`인 점`P(x,y)`의 `x`와 `y`사이의 관계를 방정식으로 나타내보자. $$|\overline{PF'}-\overline{PF}|=2a$$

$$\sqrt{(x+c)^2 +y^2 }-\sqrt{(x-c)^2 +y^2} =2a$$

이다.

$$\sqrt{(x+c)^2 +y^2 }=2a-\sqrt{(x-c)^2 +y^2 }$$

양변을 제곱하여 정리하면

$$( c^2 - a^2 )x^2 -a^2 y^2 =a^2( c^2 - a^2 )$$

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} =1 (단, c>a>0, b^2 = c^2 -a^2)$$ 이다. 정점 `F(c,0), F'(-c,0)`를 초점이라 한다.

쌍곡선이 `x`축과 만나는 두 점을 꼭지점이라 하고 두 꼭지점을 연결하는 선분을 주축이라 한다. 주축의 중점이 쌍곡선의 중심이다.

  

이차곡선 위의 점 `P`와 준선과 초점에 이르는 거리의 비율 $\displaystyle{\frac{\overline{PF}}{\overline{PH}} =e}$로 정의하기도 한다. 이를 이심율(Eccentricity)라고 하며, 타원이나 쌍곡선의 경우 $\displaystyle{e= \frac{c}{a} }$로 계산된다.

이심률에 따라 `e=0`이면 원 `0 < e < 1`이면 타원(Ellipse), `e = 1 `이면 포물선(Parabola), ` e > 1`이면 쌍곡선(Hyperbola)이다.

이차곡선을 원뿔곡선(ConicSection)이라고 부르는 것은 그리스 시대 수학자들의 연구와 관련있다. 'Ellipse', 'Parabola', 'Hyperbola' 는 각각 그리스어 '모자라다', '적당하다', '넘치다'는 뜻을 가지고 있다. 

아래 그림에서 원뿔 모선과 밑면이 이루는 각 $\alpha$과 원뿔을 자르는 면과 원뿔 밑면이 이루는 각 $\beta$가 이루는 관계를 말한다. 

$$\alpha>\beta\;\;Ellipse,\quad \alpha=\beta\;\;Parabola,\quad \alpha<\beta\;\;Hyperbola$$

 

 

 

같이 보기

원뿔곡선