Apollonian gasket #2

반전 기하로 아폴로니안 가스켓에 있는 원들의 반지름을 구해보자.

중심 $O$인 파란 원에 대한 반전을 생각하자.

원 $C_n$의 반전이 $C^{\prime}_n$임을 아래와 같이 나타내자.

$$I(C_n)=C^{\prime}_n$$

두 원 $C_0$과 $C_1$은 중심 $O$를 지나므로 그림과 같이 직선 $C^{\prime}_0$와 $C^{\prime}_1$으로 반전된다. 원 $C_3$은 직선 $C^{\prime}_0$와 $C^{\prime}_1$에 접하는 원 $C^{\prime}_2$로 반전된다.

귀납적으로두 원 $C_0$과 $C_1$에 접하는 원은 모두 $C^{\prime}_2$와 반지름이 같은 원으로 반전되고 $C_1$과 $C_{2k+1}$과 접하는 원은 $C^{\prime}_1$과 $C^{\prime}_{2k+1}$과 접하는 작은 원으로 반전된다.

두 직선 사이에 접하는 원으로 생각하면 아폴로니안 가스켓에 있는 원들의 반지름을 구하는 일은 아주 간단하다.

먼저 원 $C_0$의 반지름은 $R$, 원 $C^{\prime}_{n}$의 반지름은 $r_n$라고 하자.

$$\displaystyle{r_2=\frac{R}{4} \;\;\;r_{2k+1}=\frac{R}{4}}\;\;k=1,2,3,\cdots$$임은 바로 알 수 있다.

$$\overline{C^{\prime}_2 Q}^2 +\overline{QC^{\prime}_4}^2=\overline{C^{\prime}_2 C^{\prime}_4}^2$$

$$\bigg(\frac{R}{4}-r_4\bigg)^2 +\bigg(\frac{R}{4}\bigg)^2 =\bigg(\frac{R}{4}+r_4\bigg)^2 $$

$$r_4 = \frac{R}{16}$$

$$\therefore \;\;r_{2k}= \frac{R}{16}\;k=2,3,\cdots$$

이제 $C_{10}$의 반지름을 구해보자.

먼저 $\overline{OC^{\prime}_{10}}$을 구해야 한다.

$$\overline{OQ}^2 +\overline{QC^{\prime}_{10}}^2=\overline{O C^{\prime}_{10}}^2$$

$$\overline{O C^{\prime}_{10}}^2=\bigg(\frac{R}{2}+\frac{R}{4}+\frac{R}{16}\bigg)^2+\bigg(\frac{7R}{4}\bigg)^2=\bigg(\frac{15R}{16}\bigg)^2+\bigg(\frac{7R}{4}\bigg)^2$$

원 $C_{10}$의 반지름 $R_{10}$이라고 하자.

$$R_{10}=\frac{R^2 \cdot\frac {R}{16}}{\bigg(\frac{15R}{16}\bigg)^2+\bigg(\frac{7R}{4}\bigg)^2-\bigg(\frac {R}{16}\bigg)^2}=\frac{16R}{15^2 +16\cdot 7^2 -1}=\frac{R}{63}$$

일반적으로 정리하면 반지름은 아래와 같은 두 가지 꼴이 나온다.

$$\frac{R}{2+k^2}, \;\;\;\frac{R}{14+(2k+1)^2} \;\;\;k=0,1,2,3,\cdots$$

분모만 따로 적어보면 아래와 같다. 이 수들은 아폴로니안 가스켓에 있는 원의 곡률이다.

$$1,2,3,6,11,15,18,23,27,38,39,51,63,95,\cdots$$

아름답다! 이게 바로 수학으로 하는 예술이다. 이제 데카르트 정리를 증명할 준비가 되었다. 시험문제 낼 때라 바쁘기도 하고 이만하면 잘 놀았으니 증명은 다음으로 미룬다.