아벨로스(Arbelos): 구두장이가 쓰는 칼

아벨로스(Arbelos)는 구두장이가 가죽을 자르고 다듬을 때 쓰는 칼을 이르는 그리스말이다. 아래와 같이 반원 c에 내접하고 서로 외접하는 두 반원 d,c로 이루어진 도형이다. 이 간단한 도형에 원과 관련된 성질이 아주 많아서 오늘날도 연구 대상이 되고 있는 도형이다. 그리스 수학자 아르키메데스, 아폴로니우스가 많은 연구를 하였다. 여기에 아폴로니우스 가스킷을 만들어 가는 과정을 적고자 한다. 

먼저 아벨로스는 원 c 위의 임의의 점을 $C$를 잡고 원주각을 이등분하는 직선과 지름이 만나는 점 $D$를 찾는다. 나누어진 선분을 지름으로 하는 두 원 d, e를 그린다. 이렇게 만든 아벨로스는 아래와 같은 성질이 있다.

1. 아벨로스는 호 c 길이의 2배이다. 호 c 길이는 호 d,e를 더한 것과 같다.

2. 선분 $LD$는 붉은 두 원의 지름들의 기하평균이다. 아벨로스의 넓이는 $LD$가 지름인 원 넓이와 같다.

아래와 같이 세 원에 모두 접하는 원 p를 작도해 보자.

그림에서 네 점 $G, N, F, I$는 네 원 c, d, e, p의 중심이다. 반지름을 각각 $r_0 , r_1 , r_2, r_3$라고 하자.

$$IG+IF=r_0 -r_3 +r_3 +r_2=r_0+r_2$$

$I$는 $G,F$에 이르는 거리의 합이 일정하다. 따라서, $I$는 $G,F$를 초점으로 하고 장축이 $2(r_0+r_2)$인 타원 위에 있다.

점 $C$를 중심으로 반지름이 $r_2$인 원을 그리고 직선 $GC$와 만나는 점 $H$를 찾는다. 

두 점 $H,F$의 수직 이등분선과 직선 $GC$가 만나는 점 $I$를 찾는다.

아르키메데스 쌍둥이 원은 아래 그림과 같이 작도한다.

접하는 원을 계속 그려나가면 파푸스 사슬(Pappus chain)을 얻는다.

arbelos.ggb

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http://blog.naver.com/yh6613/220873058391

[수지수학학원 진산서당] 아르키메데스의 아벨로스(구두장이의 칼) 이야기

http://www.retas.de/thomas/arbelos/arbelos.html

Arbelos

http://clipbank.ebs.co.kr/clip/view?clipId=VOD_20171018_00145

EBS클립뱅크 - 원의 성질

https://www.mathematica-journal.com/data/uploads/2014/05/Rangel-Mondragon_Arbelos.pdf