$X ~B(n, p)$ 의 확률분포를 표로 나타내자.(단, $q=1-p$)

평균

평균은 $E(X)={}_n C_1 p q^{n-1} + 2\cdot {}_n C_1 p^2 q^{n-2} + 3\cdot {}_n C_3 p^3 q^{n-3} +\cdots+n \cdot {}_n C_n p^n$ 이다.

$$\displaystyle{E(X)=\sum_{r=1}^{n}r\cdot {}_n C_r p^r q^{n-r}} $$

$(px+q)^n$의 전개식을 생각하자.

$$(px+q)^n = {}_n C_0 q^n + {}_n C_1 px q^{n-1} + {}_n C_1 p^2 x^2 q^{n-2} + {}_n C_3 p^3 x^3 q^{n-3 }+\cdots+ {}_n C_n p^n x^n$$

$$ \displaystyle{\therefore (px+q)^{n} =\sum_{r=0}^{n}{}_{n} C_r p^r x^r q^{n-r}}$$

이를 미분하면

$$n(px+q)^{n-1} p = \sum_{r=0}^{n}r\cdot {}_n C_r p^r x^{r-1} q^{n-r} \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots ①$$

$x=1$ 일 때, $ E(X)=np $

분산

$V(X)= E(X^2 )-{E(X)}^2$이다.

$\displaystyle{E(X^2)= \sum_{r=1}^{n}r^2 \cdot {}_n C_r p^r q^{n-r} }$

①의 양변에 $x$를 곱하면

$$xn(px+q)^{n-1} p = \sum_{r=1}^{n}r\cdot {}_n C_r p^r x^{r} q^{n-r} $$이다.

이를 미분하면

$$n (px+q)^{n-1} p + xn(n-1)(px+q)^{n-2} p^2 = \sum_{r=1}^{n}r^2 \cdot {}_n C_r p^r x^{r-1} q^{n-r} $$이다.

$x=1$일 때, $\therefore E(X^2)=np+n(n-1)p^2 $

$V(X)= E(X^2)-{E(X)}^2=np+n(n-1)p^2 -n^2 p^2 =np-np^2 =np(1-p)=npq$

$V(X)= npq$이므로 표준편차는 $\sigma(X)=\sqrt{npq}$이다.

$X ~B(n, p)$

$E(X)=np$, $V(X)=npq$, $\sigma(X)=\sqrt{npq}$

참고 엑셀로 이항확률을 계산할 수 있다. 함수는 BINOM.DIST.RANGE()이다.

=BINOM.DIST.RANGE(trials,probability_s,number_s,[number_s2])

주사위를 12번 던질 때, 2가 나오는 횟수를 확률변수 X라고 하자. 확률분포를 구하여라.

위 문제는 성공확률 1/6이므로 P(X=x) = BINOM.DIST.RANGE(x,12,1/6)로 얻을 수 있다. 아래 파일을 열어서 확인해 보자.