바젤 문제 기하로 다가서기

$$\sum_{n=1}^{\infty}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$$

위에 있는 무한급수는 수렴함을 알고 있다. 이 급수가 수렴하는 값을 구하는 문제는 이탈리아 수학자  Pietro Mengoli가 1650년에 처음으로 제시하였는데 오일러(Leonhard Euler)가 1734년에 해결했다. 오일러가 태어난 도시가 바젤이라서 바젤 문제라고 부른다. 앞서 리만-제타 함수로 해결하는 방법을 적은 글이 있지만 기하로 다가서는 풀이을 적어 두려고 한다. 심심풀이로 본 유튜브에서 본 걸 옮겨 놓는 것이다. 아래 연결고리를 따라가면 볼 수 있다.

https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls

문제를 물리로 해석하기 위해 밝기가 1인 전등이 원점에서 거리가 1인 간격으로 한없이 놓여 있다고 생각하자. 이때 원점에 다다르는 빛의 양을 계산해 보자.

1. 빛의 양은 광원까지 거리 제곱의 역수에 비례한다.

따라서 원점에서 거리가 $1,2,3,\dots$에 놓인 밝기가 1인 전등에서 나온 빛이 원점에 다다르는 양은 위에 있는 무한급수와 같이 표현할 수 있다.

2. 빛을 나누기

아래와 같이 점 $L,A,B$에 전등이 놓여 있다고 하자.

 

$$ \frac{1}{2}ab= \frac{1}{2}\sqrt{a^2 +b^2}l$$

양변을 제곱하여 정리하면 아래와 같다.

$$\frac{1}{l^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$$

따라서 $L$에서 나온 빛은 $A,B$에서 나온 빛을 더한 것과 양이 같다.

3. 전등을 원 둘레에 나누어 놓기

둘레가 2인 원은 지름이 $2/\pi$이다. 지름의 한 끝점 $A$에 밝기가 1인 전등이 있다고 하면 다른 끝점 $O$에 다다르는 빛의 양은 $\pi^2/4$이다.

지름이 2배이고 중심이 $A$인 원을 그려서 $A$나오는 빛을 그림과 같이 새로 그린 원 둘에에 나누어 놓는다. $O$에 다다라는 빛의 양은 달라지지 않는다. 

같은 작업을 한 없이 이어나간다.

반지름이 무한대인 원이 직선이라고 생각하면 아래와 같이 $n=\pm(2k-1)$인 점에 전등이 놓였다고 볼 수 있다.

따라서 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

$$\frac{\pi^2}{8}= 1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots$$

짝수일 때는 홀수일 때보다 거리가 2배가 되므로 빛의 양은 1/4이 될 것이다.

$$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$$

따라서 홀수일 때만 더한 값은 전체의 3/4이 될 것이다.

$$\frac{\pi^2}{8}= 1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots=\frac{3}{4}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$

이제 끝났다.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$