편미분계수(Partial derivative)

편미분

다변수 함수의 편미분에 대하여 정리하자.

먼저 2변수 함수 $z=f(x,y)$에서 편미분을 알아보자. 아래 그림을 보자.

함수 $z=f(x,y)$의 그래프는 곡면이다. 곡면 $z=f(x,y)$가 평면 $y=b$와 만나는 곡선은 $z=f(x,b)$이다. 여기서 $z=f(x,b)$는 변수 $x$의 1변수 함수이다. 이 함수가 $x=a$에서 미분가능하다고 하자. 이때, 극한값

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x,b)-f(a,b)}{\Delta x}$$

을 $f_x (a,b)$로 나타내고, 점$(a,b)$에서 함수 $z=f(x,y)$의 $x$에 대한 편미분계수라 한다. 이것은 곡선 $z=f(x,b)$의 $x=a$일 때 접선의 기울기다. 다시 말하면, 점$(a,b)$에서 곡면 $z=f(x,y)$의 접선 가운데 벡터 $(1,0)$과 같은 방향인 접선의 기울기와 같다.

$x$에 대한 편미분계수를 아래와 같이 정의하자.

$$f_x(a,b)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x ,b)-f(a,b)}{\Delta x}$$

이다. 이것을 $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(a,b)},\quad \frac{d}{d x}f(x,b)\bigg|_{x=a}}$로 쓰기도 한다. 1변수 함수와 마찬가지로, 2변수 함수에서도 편미분계수의 함수를 편도함수라 한다.

$$f_x(x,y)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x ,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$

아래는 모두 같은 것을 나타낸다.

$$f_x,\quad\quad \frac{\partial f}{\partial x},\quad\quad\frac{\partial z}{\partial x}$$

마찬가지로 $y$에 대한 편미분계수도 아래와 같이 정의하자.

$$f_y(a,b)=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(a,b+\Delta y)-f(a,b)}{\Delta y}$$

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정의

함수 $z=f(x,y)$가 편미분계수 $f_x(x_0,y_0),\;\;f_y(x_0,y_0)$를 가지고 아래를 만족하는 $\Delta z$가 존재한다면 점 $(x_0,y_0)$에서 미분가능하다.

$$\Delta z=f_x(x_0, y_0)\Delta x +f_y(x_0,y_0)\Delta y +\epsilon_1\Delta x +\epsilon_2 \Delta y$$

단, $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$일 때, $\epsilon_1 , \epsilon_2 \rightarrow 0$이다.

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연쇄법칙(Chain rule)

함수 $z=f(x,y)$가 미분가능하고 $x=x(t),\;\;y=y(t)$가 미분가능하면 합성함수 $z=f(x(t),y(t))$는 $t$에 대한 미분은 아래와 같다.

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

함수 $z=f(x,y)$가 미분가능하고 $x=x(r,s),\;\;y=y(r,s)$가 미분가능하면 합성함수 $z=f(x(r,s),y(r,s))$는 $r,s$에 대한 편미분은 아래와 같다.

$$\frac{\partial z}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},\quad \quad \frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$$

방향 미분계수(directional derivatives)와 그래디언트 벡터(gradient vectors)

이제 임의의 벡터 방향으로의 미분계수를 정의하자.

정의

함수 $z=f(x,y)$에서 점 $P_0 (x_0,y_0)$과 같은 방향인 단위벡터 $u=(u_1 ,u_2)$으로 방향 미분계수는 아래와 같다.

$$\bigg(\frac{d f}{ds}\bigg)_{u,P_0}=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{f(x_0+su_1, y_0+su_2)-f(x_0,y_0)}{s}$$

$x=x_0+su_1,\quad y=y_0 +su_2$라고 생각하면 위에 있는 연쇄법칙에 따라서

$$\bigg(\frac{d f}{ds}\bigg)_{u,P_0}= \bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg)_{P_0} \frac{\partial x}{\partial s}+\bigg(\frac{\partial f}{\partial y}\bigg)_{P_0} \frac{\partial y}{\partial s}=\bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg)_{P_0} u_1+\bigg(\frac{\partial f}{\partial y}\bigg)_{P_0} u_2$$

이다. 이것은 두 벡터 $\displaystyle{\bigg(\bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg)_{P_0},\bigg(\frac{\partial f}{\partial y}\bigg)_{P_0}\bigg)}$와 $(u_1,u_2)$의 내적과 같다.

이때 특별한 벡터 $\displaystyle{\bigg(\bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\bigg)_{P_0},\bigg(\frac{\partial f}{\partial y}\bigg)_{P_0}\bigg)}$를 점 $P_0$에서 $f$의 그래디언트라 한다.

이때 편미분으로 구해지는 벡터 $\displaystyle{\bigg( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\bigg)}$를 그래디언트 벡터 또는 그래디언트라 한다. 기호로 $\nabla f$로 적고 '$f$의 그래디언트' 또는 '델 $f$'로 읽는다.

다시 정리하면 아래와 같다. $$\bigg(\frac{d f}{ds}\bigg)_{u,P_0}= (\nabla f)_{P_0}\cdot \mathbb{u}$$

방향미분계수는 벡터 $\mathbb{u}$가 그래디언트와 같은 방향일 때 가장 값이 크고 반대방향일 때 가장 작으며 수직일 때는 $0$이다. 두 벡터 $(\nabla f)_{P_0}$와 $P_0=(x_0,y_0)$가 이루는 각을 $\theta$라고 하면 아래와 같이 계산한다.

$$(\nabla f)_{P_0}\cdot \mathbb{u}=|(\nabla f)_{P_0}|\cos \theta$$

1변수 함수에서 미분(differetial) $dy$를 정의한 것과 마찬가지로 2변수 함수 $z=f(x,y)$의 전미분(total differential) $dz$를 아래와 같이 정의하자.

$$d f=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$