그래디언트와 등위곡선의 접선

그래디언트가 어떤 성질을 가지고 있는가 정리해 보자.

등위곡선(Level Curves)

함수 $f(x,y)$에서 상수 $c$가 치역에 속한다고 하자. 평면 $z=c$가 곡면 $z=f(x,y)$가 만나는 교선을 $xy$평면에 정사영한 곡선 $f(x,y)=c$를 등위곡선이라 한다. 등고선을 생각하면 이해가 쉽다.

등위곡선

그래디언트와 등위곡선

함수 $z=f(x,y)$에서 등위곡선 $\mathbb{r}=g(t)i+h(t)j$ 위에 있는 점에서 상수 $c$값을 가진다고 하자. 다시 말해 $f(g(t),h(t))=c$라고 하자. 양변을 $t$에 대하여 미분하자.

$$\frac{d}{dt}f(g(t),h(t))=\frac{d}{dt}c$$

$$\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d g}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d h}{d t}=0$$

$$\bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\bigg)\cdot \bigg( \frac{d g}{d t},\frac{d h}{d t}\bigg)=0$$

$$\nabla f \cdot \frac{d \mathbb{r}}{d t}=0$$

$\displaystyle{\frac{d \mathbb{r}}{d t}}$는 등위곡선 위에 있는 점에서 접선벡터다. 따라서, 그래디언트 $\nabla f$는 등위곡선 위에 있는 점에서의 접선벡터와 수직인 벡터이다.

그래디언트를 어디에 쓸까?

함수 $f(x,y)$의 그래프는 곡면이다. $$F=\{(x,y,f(x,y))|(x,y)\in D\}$$

곡면 $F(x,y,z)=0$ 위의 점 $P_0=(x_0,y_0,z_0)$에서 $\displaystyle{\frac{\partial F}{dx} ,\frac{\partial F}{dy},\frac{\partial F}{d z} }$가 모두 존재하고 연속일 때, $F(x,y,z)=0$는 점 $P_0$에서 미분가능하다. 미분가능한 점에서는 접평면이 단 하나 존재한다. 이 접평면의 방정식을 구해보자.

곡면 $F(x,y,z)=0$을 $S$라 하자. 이 곡면 위에 있는 곡선 $C$를 매개변수 $t$로 나타내면 아래와 같다.

$$\{ (x(t),y(t),z(t))|F(x(t),y(t),z(t))=0,\;\;a \leq t \leq b\}$$

이제 곡선 $C: F(x(t),y(t),z(t))=0,\;\;a \leq t \leq b$를 $t$에 대하여 미분해 보자.

$$\frac{d}{dt} F(x(t),y(t),z(t))=0$$

$$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{d x}{dt} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{d y}{dt} +\frac{\partial F}{\partial z} \frac{d z}{dt} =0$$

$$\bigg(\frac{\partial F}{\partial x} , \frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z} \bigg)\cdot\bigg(\frac{d x}{dt}, \frac{d y}{dt} , \frac{d z}{dt}\bigg) =0$$

두 벡터 $\displaystyle{\bigg(\frac{\partial F}{\partial x} , \frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z} \bigg)}$와 $\displaystyle{\bigg(\frac{d x}{dt}, \frac{d y}{dt} , \frac{d z}{dt}\bigg)}$는 서로 수직이다.

여기서 $\displaystyle{\bigg(\frac{d x}{dt}, \frac{d y}{dt} , \frac{d z}{dt}\bigg)}$ 곡면 $S$위에 있는 임의의 곡선 $C$의 점 $P_0$를 지나는 접선의 방향벡터이다. 따라서 $\displaystyle{\bigg(\frac{d x}{dt}, \frac{d y}{dt} , \frac{d z}{dt}\bigg)}$는 $(\nabla F)_{P_0}$는 점 $P_0$를 지나는 평면과 수직인 법선벡터이다.

정리해 보자. 곡면 $F(x,y,z)=0$가 $(x_0,y_0,z_0)$에서 미분가능하다고 하면 접평면은 $(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))$를 법선벡터로 가진다. 따라서 접평면의 방정식은 아래와 같다.

$$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$$

$$(\nabla F)_{P_0}\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0$$

 

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일반적으로 함수 $f(x,y)$가 $(x_0,y_0)$에서 미분가능하다고 하자. 함수 $z=f(x,y)$를 곡면의 방정식으로 생각하면 $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$이다. 음함수 표현으로 생각하면 쉽게 이해할 수 있다.

$$F_x=f_x,\;\;F_y=f_y\;\;F_z=-1$$

이므로 접평면은 $(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)$를 법선벡터로 가진다. 따라서 접평면의 방정식은 아래와 같다.

$$f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0$$

참고)) 평면 위에 있는 곡선 $f(x,y)=0$을 매개변수 $t$로 나타낸 곡선 $f(x(t),y(t))=0$를 미분해 보자.

$$\frac{d}{d t} f(x(t),y(t))=0$$

$$\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d y}{d t}=0$$

$$\nabla f\cdot\bigg(\frac{d x}{ d t}, \frac{d y}{dt}\bigg)=0$$

그러므로 $\nabla f$는 임의의 점을 지나는 접선에 수직인 벡터이다. 그러므로 접선의 방정식은

$$\nabla f(x_0,y_0)\cdot(x-x_0,y-y_0) =0$$이다.

예) 원 $x^2 -y^2 =4$ 위의 점 $(1,\sqrt3 )$에서 접선의 방정식을 구해보자. 

음함수 미분법으로 접선의 기울기를 구해도 되지만 편미분을 알고 있으니 $f(x,y)=x^2 +y^2 -4$로 생각하기로 하자.

$f_x=2x, f_y=2y$이므로 $\nabla f(1,\sqrt3 )=(2,2\sqrt3)$이다. 따라서 접선의 방정식은

$$2(x-1)+2\sqrt3 (y-\sqrt3)=0$$

$$x+\sqrt3 y=4$$

이다. 물론 이 문제를 이렇게 푸는 사람은 없겠지만 도형의 방정식을 2변수 함수의 등위곡선으로 생각할 수도 있음을 알리려고 적어 본다.