단진자 운동 주기 간단치 않네

사이이클로이드를 따라 진동하는 호이겐스 진자의 주기를 계산하고 나니 단진자 운동도 계산해 보고 싶어진다. 원 운동이니 간단할 줄 알고 시작했는데 웬 걸 상당히 복잡하다. 결국은 제1종 타원적분임을 찾았다. 다시 보다가 오타가 있어서 새로 정리한다.

단진자 [simple pendulum, 單振子]

아래 그림과 같이 진자는 원호를 움직인다. 진자 질량은 $m$, 진자 길이는 $l$이다.

$$(x-l\sin \theta_0)^2 +(y-l\cos\theta_0)^2=l^2$$

$\theta$로 매개화하면 아래와 같다.$$\displaystyle{\frac{3}{2}\pi-\theta_0 \leq \theta \leq \frac{3}{2}\pi}$$

$$x=l\sin\theta_0+l\cos\theta$$

$$y=l\cos\theta_0+l\sin\theta$$

진자가 $\theta_0$ 회전할 때 걸리는 시간($T$)를 구해보자.

$$-mgy=\frac{1}{2}mv^2\quad\quad v=\sqrt{-2gy}$$

$$v=\frac{ds}{dT}=\sqrt{-2gy}\Rightarrow \frac{ds}{\sqrt{-2gy}}=dT$$

$$T=\int\frac{ds}{\sqrt{-2gy}}$$

$$ds=\sqrt{(dx)^2 +(dy)^2}=l d \theta$$

$$\begin{split}T&=\int_{3\pi/2-\theta_0}^{3\pi/2}\frac{ld\theta}{\sqrt{-2gl(\cos\theta_0+\sin\theta)}}\\&=\sqrt{\frac{l}{2g}}\int_{3\pi/2-\theta_0}^{3\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{-\cos\theta_0-\sin\theta}}\\&=\sqrt{\frac{l}{2g}}\int_{0}^{\theta_0}\frac{dt}{\sqrt{-\cos\theta_0+\cos t}}\quad(t=3\pi/2-\theta\;\;dt=-d\theta) \\&=\sqrt{\frac{l}{2g}}\int_{0}^{\theta_0}\frac{dt}{\sqrt{2(\sin^2\frac{\theta_0}{2}-\sin^2\frac{t}{2})}}\quad\bigg(\cos\theta=1-2\sin^2\frac{t}{2}\;\;\cos\theta_0 =1-2\sin^2\frac{\theta_0}{2}\bigg)\\&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{l}{2g}}\int_{0}^{\theta_0}\frac{dt}{\sqrt{(k^2-\sin^2\frac{t}{2})}}\quad(\sin\frac{\theta_0}{2}=k)\end{split}$$

$\displaystyle{kz=\sin\frac{t}{2}}$로 치환하여 간단한 모양으로 고쳐보자.

$$kdz=\frac{1}{2}\cos\frac{t}{2}dt$$

$$2kdz=\sqrt{1-k^2 z^2}dt$$

$$\begin{split}T&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}\int_{0}^{1}\frac{2kdz}{\sqrt{k^2(1-z^2)}\sqrt{1-k^2 z^2}}\\&=\sqrt{\frac{l}{g}}\int_{0}^{1}\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}\sqrt{1-k^2 z^2}}\end{split}\tag{1}$$

1종 타원적분이 나왔다. 여기서 그만하기는 아쉽다. 이항급수도 배웠으니 도전해 보자. 먼저 1종 타원적분을 다시 정리하면 아래와 같다.

$$K(k)= \int_0^\tfrac{\pi}{2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{\left(1-t^2\right)\left(1-k^2 t^2\right)}}$$

먼저 이항급수를 적어보자

$$(1+x)^{-1/2}=\sum_{m=0}^{\infty}\pmatrix{-\frac{1}{2}\\m}x^m\quad\quad(0!=1)$$

여기서 아래는 먼저 정리해 두자.

$$\pmatrix{-\frac{1}{2}\\m}=\frac{-\frac{1}{2}\bigg(-\frac{1}{2}-1\bigg)\bigg(-\frac{1}{2}-2\bigg)\cdots\bigg(-\frac{1}{2}-m+1\bigg)}{m!} $$$$=\frac{(-1)^m1\cdot3\cdot 5\cdot \cdots\cdot(2m-1)}{2^m m!}=\frac{(-1)^m(2m-1)!!}{(2m)!!}\tag{2}$$

$$\frac{1}{\sqrt{1-(kt)^2}}=(1-(kt)^2)^{-1/2}=\sum_{m=0}^{\infty}\pmatrix{-\frac{1}{2}\\m}(-1)^m(kt)^{2m}$$

$$\begin{split}K(k)&=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\sum_{m=0}^{\infty}\pmatrix{-\frac{1}{2}\\m}(-1)^m(kt)^{2m}dt\\&=\sum_{m=0}^{\infty}\pmatrix{-\frac{1}{2}\\m}(-1)^m k^{2m} \int_{0}^{1}\frac{t^{2m}}{\sqrt{1-t^2}}dt\\&=\sum_{m=0}^{\infty}\pmatrix{-\frac{1}{2}\\m}(-1)^m k^{2m} \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2m}\phi d \phi\quad(t=\sin\phi\;\;dt=\cos\phi)\\&=\sum_{m=0}^{\infty}\pmatrix{-\frac{1}{2}\\m}(-1)^m k^{2m}\bigg[\frac{2m-1}{2m}\frac{2m-3}{2m-2}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{2}\bigg]\frac{\pi}{2}\end{split}$$

(2)을 넣어 정리하면 

$$K(k)=\sum_{m=0}^{\infty}k^{2m}\bigg[\frac{2m-1}{2m}\frac{2m-3}{2m-2}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{2}\bigg]^2\frac{\pi}{2}\tag{3}$$

이중 계승 기호 !!(double factorial)로 간단하게 표현하면 아래와 같다.

$$K(k)=\sum_{m=0}^{\infty}k^{2m}\bigg[\frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\bigg]^2\frac{\pi}{2}\tag{4}$$

(3)을 (1)에  대입하여 정리한 다음 4를 곱하면 주기를 구할 수 있다.

$$4T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \sum_{m=0}^{\infty} k^{2m}\bigg[\frac{2m-1}{2m}\frac{2m-3}{2m-2}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{2}\bigg]^2\;\;\bigg(k=\sin\frac{\theta_0}{2}\bigg)$$

$$4T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2 k^2+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2 k^4+\cdots+\bigg(\frac{2m-1}{2m}\frac{2m-3}{2m-2}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{2}\bigg)^2 k^{2m}+\cdots\right)$$

$\theta_0$가 작을 때는 주기에 미치는 영향이 매우 작지만 클 때는 그렇지 않다. 따라서 진자의 등시성을 만족하는 진자는 원 궤도가 아니라 사이클로이드 궤도를 가져야 한다. 궤도가 사이클로이드인 진자는 호이겐스 진자다.  

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral

Elliptic integral - Wikipedia