벡터장(Vector field)

중력이나 전기력은 주어진 점에서 방향(direction)과 크기(magnitude)를 가진다. 방향과 크기를 함께 나타내는 좋은 도구는 바로 벡터다. 정의역에 있는 점에 정해지는 힘을 벡터로 나타내면 벡터장(Vector field)이 만들어 진다. 유체나 기체가 들어 있는 공간이 있다면 주어진 점에서 유체나 기체의 속도가 정해진다. 3차원에서 일반적으로 벡터장은 아래와 같이 표현한다. 당연히 벡터장은 벡터 함수(vector-valued-function)이다.

$$F(x,y,z)=M(x,y,z) \mathbf{i} + N(x,y,z) \mathbf{j} + P(x,y,z) \mathbf{k}$$

성분 함수 $M,N,P$가 연속이면 벡터장 $F$도 연속이다. 성분 함수가 미분가능하면 벡터장도 미분가능하다. 2차원에서는 아래와 같이 표현한다.

$$F(x,y)=M(x,y) \mathbf{i} + N(x,y) \mathbf{j}$$

앞에서 알아 보았던 주어진 곡선 위의 점에서 정해지는 단위 접선벡터($\mathbf{T}$)나 단위 법선벡터($\mathbf{N}$)는 벡터장이다, 함수 $f(x,y,z)$에서 구하는 그래디언트 벡터 $\nabla f$도 벡터장이다. 이때는 그래디언트장(gradient field)으로 부른다.

미분가능한 함수 $f(x,y,z)$가 주어졌을 때, 그래디언트장은 아래와 같다.

$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} +\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k} $$

https://www.geogebra.org/m/r6hfgruj

2D_vector_field

벡터장의 선적분

성분 함수가 연속인 벡터장 $F(x,y,z)=M(x,y,z) \mathbf{i} + N(x,y,z) \mathbf{j} + P(x,y,z) \mathbf{k}$은 매끄러운 곡선 $C: \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j} +z(t) \mathbf{k}\;,\;\;a\leq t \leq b $로 매개화할 수 있다. $t$가 증가하는 방향을 양의 방향으로 한다.

정의

곡선 $C$를 따라 벡터장 $\mathbf{F}$의 선적분은 아래와 같이 정의한다.

$$\int_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{T} ds= \int_{C} \left( \mathbf{F}\cdot \frac{d \mathbf{r}}{ds} \right) ds=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\tag{1}$$

계산은 아래와 같이 하면 된다.

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1. 성분 함수를 곡선 $C: \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j} +z(t) \mathbf{k}\;,\;\;a\leq t \leq b $로  벡터장을 매개화 한다. $F(\mathbf{r}(t))$

2. 위치벡터를 미분하여 ${d \mathbf{r}}/{dt}$를 찾는다.

3. 주어진 $t$의 범위에서 적분한다.

$$\int_{C}F \cdot d \mathbf{r}=\int_{a}^{b} F(\mathbf{r}(t)) \cdot \frac{d \mathbf{r}}{dt} dt$$

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보기

벡터장은 $F(x,y,z)=z \mathbf{i} +xy \mathbf{j} -y^2 \mathbf{k}$이고 $C: \mathbf{r}(t)=t^2 \mathbf{i} + t \mathbf{j} +\sqrt t \mathbf{k}, \;\;0 \leq t \leq 1$이다. 선적분을 구해보자.

$$\int_{C} F \cdot d \mathbf{r}$$

$$F(\mathbf{r}(t)) = \sqrt t \mathbf{i} + t^3 \mathbf{j} - t^2 \mathbf{k}$$

$$\frac{d \mathbf{r}}{dt} = 2 t \mathbf{i} + \mathbf{j} + \frac{1}{\sqrt t} \mathbf{k}$$

$$\begin{split} \int_{C} F \cdot d \mathbf{r} &= \int_{0}^{1} F( \mathbf{r}(t) \cdot \frac{ d \mathbf{r} }{dt} dt \\ &= \int_{0}^{1} \left( 2 t^{3/2} + t^3 - \frac{1}{2} t^{3/2} \right)dt \\ & = \left[ \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} t^{5/2} + \frac{1}{4} t^4 \right]_{0}^{1} = \frac{17}{20} \end{split}$$

선적분을 $dz,dy,dz$를 써서 나타내면 아래와 같다.

$$\int_{C}M(x,y,z)dx=\int_{a}^{b}M(x(t),y(t),z(t))x^{\prime}(t)dt$$

$$\int_{C}N(x,y,z)dy=\int_{a}^{b}M(x(t),y(t),z(t))y^{\prime}(t)dt$$

$$\int_{C}P(x,y,z)dz=\int_{a}^{b}M(x(t),y(t),z(t))z^{\prime}(t)dt$$

$$\int_{C}F\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}M(x,y,z)dx+\int_{C}N(x,y,z)dy+ \int_{C}P(x,y,z)dz=\int_{C}Mdx+Ndy+Pdz$$

벡터장의 선적분은 무엇을 나타내는 양일까?

공간곡선 위에서 힘이 하는 일

벡터장의 값을 힘으로 생각하면 단위 접선벡터와 내적은 접선 방향으로 가해지는 힘의 크기이다. 따라서 여기에 이동거리를 곱한 것은 일로 생각할 수 있다. 곡선을 따라 주어진 힘이 한 일은 아래와 같이 정의한다.

정의 

곡선 $C$를 포함한 영역에서 정의된 힘 $\mathbf{F}$가 곡선을 따라 점 $A=\mathbf{r}(a)$에서 점 $B=\mathbf{r}(b)$까지 움직인 물체에 한 일은 아래와 같다.

$$W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{T} ds= \int_{a}^{b} F(\mathbf{r}(t)) \cdot \frac{d \mathbf{r}}{dt} dt\tag{2}$$

일을 나타내는 여러 가지 꼴이 있다.

$$\begin{split}W&=\int_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{T} ds &\quad\quad \text{The definition} \\& =\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} &\quad\quad \text{Vector differential form} \\&= \int_{a}^{b} F(\mathbf{r}(t)) \cdot \frac{d \mathbf{r}}{dt} dt &\quad\quad \text{Parametric vector evaluation}\\& =\int_{a}^{b}(M x^{\prime}+Ny^{\prime}+Pz^{\prime})dt &\quad\quad \text{Parametric scalar evaluation}\\&=\int_{C}Mdx+Ndy+Pdz &\quad\quad \text{Scalar differential form}\end{split}$$

속도장을 위한 유동적분과 순환

유동적분은 일을 구하는 것과 같은 개념이다.

정의 

곡선 $C$를 포함한 영역에서 정의된 속도장 $\mathbf{F}$이 주어졌을 때 곡선을 따라 흐르는 유체가 점 $A=\mathbf{r}(a)$에서 점 $B=\mathbf{r}(b)$까지 움직일 때 유동적분 아래와 같다.

$$W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{T} ds= \int_{a}^{b} F(\mathbf{r}(t)) \cdot \frac{d \mathbf{r}}{dt} dt\tag{3}$$

출발과 시작점이 같은($A=B$) 곡선이면 유동은 순환(circulation)이라 한다.

단순 평면 곡선에서의 유출

$xy$평면 위에 있는 곡선이 곡선 자신과 다시 만나지 않으면 단순 곡선이라 한다. 출발과 시작점이 같으면 닫힌 곡선 또는 루프라 한다. 유체의 속도장 $F$와 곡선 진행 방향에 바깥으로 향하는 법선 벡터 $\mathbf{n}$의 내적을 곡선 위에서 선적분한 값을 유출(flux)라 정의한다.

정의 

곡선 $C$를 평면에서 연속인 벡터장 $\mathbf{F}=M(x,y) \mathbf{i}+N(x,y) \mathbf{j}$의 정의역에 있는 매끄러운 단순 닫힌 곡선이라 놓고 벡터 $\mathbf{n}$을 곡선 위에 있는 바깥으로 향하는 단위 법선벡터라 놓자. 곡선 $C$를 가로지르는 $F$의 유출은 아래와 같다.

$$F\text{의 유출}=\int_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} ds \tag{4}$$

순환과 유출은 다르다. 곡선 $C$를 가로지르는 선적분에서 순환은 $F$의 접선 방향 성분을 선적분하는 것이고 유출은 $F$의 법선 방향 성분을 선적분하는 것이다. 유출을 계산해 보자.

먼저 곡선을 매개변수 방정식으로 만든다.

$$x=x(t),\;\;y=y(t)\quad a \leq t \leq b$$

단위 접선 벡터 $T$와 $\mathbf{k}$를 외적하여 외향 단위 법선 벡터 $\mathbf{n}$를 찾는다. 벡터 $\mathbf{n}$의 방향은 곡선 $t$가 증가하면서 곡선 $C$가 회전하는 방향에 따라 결정된다. 운동이 시계방향이면 $\mathbf{n}=\mathbf{k} \times T$이고 운동이 반시계방향이면 $\mathbf{n}=T \times \mathbf{k}$이다. 보통 반시계 방향을 택한다.

$$\mathbf{n}=T \times \mathbf{k}= \left( \frac{dx}{ds} \mathbf{i} +\frac{dy}{ds} \mathbf{j} \right) \times \mathbf{k} = \frac{dy}{ds} \mathbf{i} - \frac{dx}{ds} \mathbf{j} $$

$$F\cdot \mathbf{n}=\left( M(x,y)\mathbf{i} + N(x,y)\mathbf{j} \right) \cdot \left( \frac{dy}{ds} \mathbf{i} - \frac{dx}{ds} \mathbf{j} \right) = M(x,y)\frac{dy}{ds} - N(x,y) \frac{dx}{ds} $$

$$\int_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n} ds = \int_{C} \left( M(x,y)\frac{dy}{ds} - N(x,y) \frac{dx}{ds} \right) ds =\oint \limits_{C} M dy -N dx $$