벡터장의 그린 정리

아래와 같이 $xy$평면에 벡터장이 주어져 있다. $$F(x,y)=M(x,y) \mathbf{i}+ N(x,y) \mathbf{j}$$

아래 그림과 같은 직사각형의 변을 따라 움직이는 유체의 순환을 계산해 보자.

먼저 시계반대방향으로 움직인다고 하자.

아랫변을 따라 움직일 때는 아래와 같이 근사할 수 있다.

$$(F(x+\Delta x)-F(x,y))\Delta x \approx F(x,y)\cdot \mathbf{i} \Delta x = M(x,y) \Delta x$$

마찬가지로 근삿값을 정리하면 아래와 같다.

$$\begin{split} & \text{윗변} \quad & F(x,y+\Delta y)\cdot (\mathbf{-i}) \Delta x = -M(x,y+\Delta y) \Delta x \\ &\text{아랫변} \quad & F(x,y)\cdot \mathbf{i} \Delta x = M(x,y) \Delta x \\  &\text{오른쪽변} \quad & F(x+\Delta x ,y)\cdot \mathbf{j} \Delta y = N(x+\Delta x,y) \Delta y \\ & \text{왼쪽변}\quad & F(x,y)\cdot (\mathbf{-j}) \Delta x = -N(x,y) \Delta y\end{split}$$

$$\begin{split} &\text{윗변과 아랫변} \quad & -(M(x,y+\Delta y)-M(x,y)) \Delta x \approx - \left( \frac{\partial M}{\partial y} \Delta y \right) \Delta x \\ &\text{오른쪽변과 왼쪽변} \quad & (N(x+\Delta x, y)-N(x,y))\Delta y \approx \left( \frac{\partial N}{\partial x} \Delta x \right) \Delta y\end{split}$$

사각형 둘레를 따라 움직일 때 순환 $\displaystyle{\approx \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) \Delta x \Delta y} $

이때 순환을 사각형 넓이 $\Delta x \Delta y$로 나눈 값을 순환 밀도로 정의한다.

정의 

순환을 계산하는데 필요한 아래와 같은 표현을 벡터장 $\mathbf{F}$의 순환 밀도라 한다.

$$\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \tag{1}$$

컬의 k-성분으로 부르기도 한다. 기호로는 $(curl \mathbf{F})\cdot \mathbf{k}$로 적는다.

마찬가지로 아래 그림에서 유출 밀도를 정의할 수 있다.

 

$$\begin{split} & \text{윗변} \quad & F(x,y+\Delta y)\cdot \mathbf{j} \Delta x = N(x,y+\Delta y) \Delta x \\ &\text{아랫변} \quad & F(x,y)\cdot (\mathbf{-j}) \Delta x =-N(x,y) \Delta x \\  &\text{오른쪽변} \quad & F(x+\Delta x ,y)\cdot \mathbf{i} \Delta y = M(x+\Delta x,y) \Delta y \\ & \text{왼쪽변}\quad & F(x,y)\cdot (\mathbf{-i}) \Delta x = -M(x,y) \Delta y\end{split}$$

$$\begin{split} &\text{윗변과 아랫변} \quad & (N(x,y+\Delta y)-N(x,y)) \Delta x \approx - \left( \frac{\partial N}{\partial y} \Delta y \right) \Delta x \\ &\text{오른쪽변과 왼쪽변} \quad & (M(x+\Delta x, y)-M(x,y))\Delta y \approx \left( \frac{\partial M}{\partial x} \Delta x \right) \Delta y\end{split}$$

사각형 둘레를 따라 움직일 때 유출 $\displaystyle{\approx \left( \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} \right) \Delta x \Delta y} $

이때 유출을 사각형 넓이 $\Delta x \Delta y$로 나눈 값을 유출 밀도로 정의한다.

정의 

유출(flux)을 계산하는데 필요한 아래와 같은 표현을 벡터장 $\mathbf{F}$의 유출 밀도(divergence)라 한다.

$$div \mathbf{F}=\frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} \tag{2}$$

기호로는 $(div \mathbf{F})\cdot \mathbf{k}$로 적는다.

새로 정의한 순환과 유출 밀도를 써서 선적분을 이중적분으로 바꾸는 아래와 같은 그린 정리가 성립한다.

정리 

$$\oint\limits_{C} \mathbf{F}\cdot \mathbf{T}ds = \oint\limits_{C} Mdx +Ndy =\iint\limits_{R} \left( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right) d x d y\tag{3}$$

$$\oint\limits_{C} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}ds = \oint\limits_{C} Mdy - Ndx =\iint\limits_{R} \left( \frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} \right) d x d y\tag{4}$$

(3)을 증명하자.

$$C_1:\quad y=f_1 ((x),\quad a \leq x \leq b,\quad C_2:\quad y=f_2 ((x),\quad b \geq x \geq a$$

$$\int_{f_1 (x)}^{f_2 (x)} \frac{\partial M}{\partial y}dy=M(x,y) \bigg]_{f_1 (x)}^{f_2(x)}=M(x,f_2 (x))-M(x, f_1 (x))$$

$$\begin{split}\int_{a}^{b}\int_{f_1 (x)}^{f_2 (x)} \frac{\partial M}{\partial y}dy dx & = \int_{a}^{b} [M(x,f_2 (x))-M(x, f_1 (x))]dx \\ & = - \int_{b}^{a} M(x,f_2 (x))dx -\int_{a}^{b} M(x, f_1 (x))dx \\ &= -\int_{C_2} M dx - \int_{C_1} Mdx \\ &=-\oint\limits_{C} M dx \end {split} $$

$$\therefore \quad \oint\limits_{C} M dx =\iint\limits_{R}\left( - \frac{\partial M}{\partial y} \right) dx dy $$

마찬가지로

$$\therefore \quad \oint\limits_{C} N dy =\iint\limits_{R}\left( \frac{\partial N}{\partial x} \right) dx dy $$

$\blacksquare$