곡선좌표계(Curvilinear coordinates)와 면적분(Surface integral)

곡선좌표계는 극좌표나 구면좌표계와 같이 직교좌표(Cartesian coordinates)를 변환한 좌표계이다.

$$F:(x,y)\to (u,v)$$

https://en.wikipedia.org/wiki/Curvilinear_coordinates

Curvilinear coordinates - Wikipedia

좌표 변환은 곡면을 매개화하는 것으로 생각할 수도 있다.

보기 원뿔 곡면 $z=\sqrt{x^2 +y^2}, \quad 0 \leq z \leq 1$을 원기둥 좌표계로 변환하자.

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,z=\sqrt{x^2+y^2}=r$$

곡면 위에 있는 점의 위치벡터는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$\mathbf{r}(r,\theta )=r\cos \theta \mathbf{i}+r\sin \theta \mathbf{j}+r\mathbf{k},0\le r\le 1,0\le \theta \le 2\pi$$

정의

변환한 좌표계에서 곡면의 넓이는 아래와 같다.

$$\mathbf{r}(u,v)=f(u,v)\mathbf{i}+g(u,v)\mathbf{j}+h(u,v)\mathbf{k},a\le u\le b,c\le v\le d$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& A=\underset{R}{\iint }|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|dA={\int }_c^d{\int }_a^b|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|dudv\end{array}$$

보기에 있는 원뿔 곡면의 넓이는 아래와 같이 구한다.

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{r}}_r\times {\mathbf{r}}_{\theta }& =\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \cos \theta & \sin \theta & 1\\ -r\sin \theta & r\cos \theta & 0\end{array}\right|\\ & =-(r\cos \theta )\mathbf{i}-(r\sin \theta )\mathbf{j}+\underset{r}{\underbrace{(r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta )}}\mathbf{k}\end{array}$$

$$|{\mathbf{r}}_r\times {\mathbf{r}}_{\theta }|=\sqrt{(r^2{\cos }^2\theta )+(r^2{\sin }^2\theta )+r^2}=\sqrt{2}r$$

$$A=={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1|{\mathbf{r}}_r\times {\mathbf{r}}_{\theta }|drd\theta ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1\sqrt{2}rdrd\theta =\pi \sqrt{2}$$

음함수 방정식으로 표현한 곡면의 넓이를 알아보자.

$$F(x,y,z)=c$$

이때 $z=h(x,y)$로 생각하면 위치벡터는 아래와 같이 생각할 수 있다.

$$\mathbf{r}(x,y)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+h(x,y)\mathbf{k}$$

$${\mathbf{r}}_x=\mathbf{i}+\frac{\partial h}{\partial x}\mathbf{k}{\mathbf{r}}_y=\mathbf{j}+\frac{\partial h}{\partial y}\mathbf{k}$$

한편 아래와 같이 미분하면

$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}F(x,y,z)& =\frac{d}{dx}c\\ F_x\frac{\partial x}{\partial x}+F_y\frac{\partial y}{\partial x}+F_z\frac{\partial z}{\partial x}& =0\\ F_x\cdot 1+F_y\cdot 0+F_z\cdot \frac{\partial h}{\partial x}& =0\end{array}$$

에서 아래와 같은 관계식을 얻는다.

$$\frac{\partial h}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial h}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

다시 정리하면 아래와 같다.

$${\mathbf{r}}_x=\mathbf{i}-\frac{F_x}{F_z}\mathbf{k},{\mathbf{r}}_y=\mathbf{j}-\frac{F_y}{F_z}\mathbf{k}$$

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y& =\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 0& -\frac{F_x}{F_z}\\ 0& 1& -\frac{F_y}{F_z}\end{array}\right|\\ & =\frac{F_x}{F_z}\mathbf{i}+\frac{F_y}{F_z}\mathbf{j}+\mathbf{k}\\ & =\frac{1}{F_z}(F_x\mathbf{i}+F_y\mathbf{j}+F_z\mathbf{k})\\ & =\frac{\mathrm{\nabla }F}{F_z}=\frac{\mathrm{\nabla }F}{\mathrm{\nabla }F\cdot \mathbf{k}}\\ & =\frac{\mathrm{\nabla }F}{\mathrm{\nabla }F\cdot \mathbf{p}}\end{array}$$

여기서 $\mathbf{p}$는 주어진 영역에 수직인 단위벡터로 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 가운데 어느 하나이다.

$$d\sigma =|{\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y|dxdy=\frac{|\mathrm{\nabla }F|}{|\mathrm{\nabla }F\cdot \mathbf{p}|}dxdy$$

음함수 방정식으로 표현된 곡면의 겉넓이는 아래와 같이 구한다.

$$A=\underset{R}{\iint }\frac{|\mathrm{\nabla }F|}{|\mathrm{\nabla }F\cdot \mathbf{p}|}dA\mathrm{\nabla }F\cdot \mathbf{p}\ne 0$$

정의

선적분과 마찬가지로 주어진 곡면 $S$에서 아래와 같이 면적분을 정의한다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \underset{S}{\iint }G(x,y,z)d\sigma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{n}G(x,y,z)\mathrm{\Delta }{\sigma }_k\end{array}$$

계산은 다음과 같이 한다.

---

1. 매개변수 방정식 $\mathbf{r}(u,v)=f(u,v)\mathbf{i}+g(u,v)\mathbf{j}+h(u,v)\mathbf{k}$ 으로 주어진 경우

$$\underset{S}{\iint }G(x,y,z)d\sigma =\underset{S}{\iint }G(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|dudv$$

2. 음함수 방정식 $F(x,y,z)=c$으로 주어진 경우

$$\underset{S}{\iint }G(x,y,z)d\sigma =\underset{R}{\iint }G(x,y,z)\frac{|\mathrm{\nabla }F|}{|\mathrm{\nabla }F\cdot \mathbf{p}|}dA$$

3. 함수 $z=f(x,y)$로 주어진 경우

$$\underset{S}{\iint }G(x,y,z)d\sigma =\underset{R}{\iint }G(x,y,f(x,y))\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dxdy$$

---