스토크스 정리와 발산 정리

스토크스 정리(Stoks' theorem)는 3차원에서 그린 정리라 생각하면 된다.

$S$는 구간별로 매끄러운 곡선으로 닫힌 구간별로 매끄러운 단순 곡면이라 하자. 곡면의 방향은 경계인 곡선의 양의 방향을 유도한다. $F$는 곡면 $S$를 포함한 $\mathbb{R}^3$의 열린 영역에서 정의된 연속인 편도함수를 가진 벡터장이라고 하면
$$\int_{C}\mathbf{F}\cdot d \mathbf{r}=\iint \limits_{S} \text{curl} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}$$

증명 특별한 경우

곡면 $S$는 아래와 같이 주어졌다고 하자.

$$z=g(x,y),\quad (x,y) \in D$$

$g$는 연속인 이계 편도함수를 가지고 $D$는 곡선 $C$의 평면 위로의 정사영인 곡선 $C_1$이 경계인 단순 영역이다.

$$\mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k}$$

$P,Q,R$은 편도함수가 연속이라고 하자.

$(x,y,g(x,y))$에서 $P,Q,R$의 편도함수가 있다면 아래와 같이 적을 수 있다.

$$\iint \limits_{S} \text{curl} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} = \iint \limits_{D} \left[ -\left( \frac{ \partial R}{\partial y} - \frac{ \partial Q}{\partial z} \right) \frac{ \partial z}{\partial x} -\left( \frac{ \partial P}{\partial z} - \frac{ \partial R}{\partial x} \right) \frac{ \partial z}{\partial y} +\left( \frac{ \partial Q}{\partial x} - \frac{ \partial P}{\partial y} \right) \right]d \mathbf{A} $$

$$x=x(t),\;\;y=(t)\;\;a \leq t \leq b$$

이 곡선 $C_1$을 매개변수 방정식이라면 곡선 $C$의 매개변수 방정식은

$$x=x(t)\;\;y=y(t)\;\;z=g(x(t),y(t))\quad a \leq t \leq b$$

연쇄법칙으로 아래와 같이 계산할 수 있다.

$$ \begin{split} \int_{C}\mathbf{F}\cdot d \mathbf{r} & =\int_{a}^{b} \left( P \frac{d x}{dt} +Q \frac{d y}{ dt} +R \frac{dz}{dt} \right) dt \\&  =\int_{a}^{b} \left[ P \frac{d x}{dt} +Q \frac{d y}{ dt} +R \left( \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt} \right) \right] dt \\& =\int_{a}^{b} \left[ \left(P + R \frac{\partial z}{\partial x} \right) \frac{d x}{dt} +\left( Q +R \frac{\partial z}{\partial y} \right) \frac{dy}{dt} \right] dt \\& =\int_{C} \left(P + R \frac{\partial z}{\partial x} \right) d x +\left( Q +R \frac{\partial z}{\partial y} \right) dy \\& =\iint \limits_{D} \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left( Q +R \frac{\partial z}{\partial y} \right) -\frac{\partial}{\partial y}\left(P + R \frac{\partial z}{\partial x} \right) \right] d \mathbf{A} \end{split}$$

맨 마지막 줄을 다시 연쇄 법칙으로 정리하면 마무리된다.

$$\begin{split}\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} &= \iint \limits_{D} \left[ \left( \frac {\partial Q} {\partial x}+ \frac {\partial Q }{\partial z} \frac {\partial z }{\partial x} +\frac {\partial R} {\partial x} \frac{\partial z} {\partial y} + \frac{\partial R} {\partial z} \frac{\partial z} {\partial x} \frac{\partial z} {\partial y} +R \frac{\partial^2  z}{\partial x \partial y} \right)  - \left( \frac {\partial P} {\partial y} + \frac{\partial P}{\partial z} \frac {\partial z} {\partial y} +\frac{\partial R }{\partial y} \frac {\partial z} {\partial x} + \frac{\partial R} {\partial z} \frac{\partial z} {\partial y} \frac {\partial z} {\partial x} +R \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \right) \right] d \mathbf{A}\\& = \iint \limits_{D} \left[ -\left( \frac{ \partial R}{\partial y} - \frac{ \partial Q}{\partial z} \right) \frac{ \partial z}{\partial x} -\left( \frac{ \partial P}{\partial z} - \frac{ \partial R}{\partial x} \right) \frac{ \partial z}{\partial y} +\left( \frac{ \partial Q}{\partial x} - \frac{ \partial P}{\partial y} \right) \right]d \mathbf{A}\end{split} $$

마지막 정리는 발산(divergence) 정리이다.

$E$는 단순 입체 영역이고 $S$는 $E$의 경계인 양의 방향이 주어진 곡면이라 하자. $\mathbf{F}$는 $E$에서 편도함수가 연속인 성분 함수를 가지는 벡터장이라고 하면
$$\iint \limits_{S}\mathbf{F}\cdot d \mathbf{S}=\iiint \limits_{E} \text{div} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{V}\tag{1}$$

$\mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k}$라고 하면

$$\text{div} \mathbf{F}=\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{ \partial P}{\partial x} + \frac{ \partial Q}{\partial y} + \frac{ \partial R}{\partial z}$$

$$\iiint \limits_{E} \text{div} \mathbf{F} d V = \iiint \limits_{E} \frac{ \partial P}{\partial x}d V + \iiint \limits_{E} \frac{ \partial Q}{\partial y}d V + \iiint \limits_{E} \frac{ \partial R}{\partial z} d V\tag{2}$$

$\mathbf{n}$이 곡면 $S$의 바깥으로 향하는 단위 법선 벡터라면 좌변에 있는 면적분은 아래와 같다.

$$ \begin{split} \iint \limits_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} & = \iint \limits_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}dS = \iint \limits_{S}(P\mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k})\cdot \mathbf{n}dS \\ & = \iint \limits_{S} P\mathbf{i} \cdot \mathbf{n}dS + \iint \limits_{S} Q \mathbf{j} \cdot \mathbf{n}dS + \iint \limits_{S} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n}dS \end{split}\tag{3}$$

(2)와 (3)을 비교하면 아래를 보이면 정리를 증명할 수 있다.

$$\iint \limits_{S} P\mathbf{i} \cdot \mathbf{n}dS = \iiint \limits_{E} \frac{ \partial P}{\partial x}d V $$ $$\iint \limits_{S} Q \mathbf{j} \cdot \mathbf{n}dS = \iiint \limits_{E} \frac{ \partial Q}{\partial y}d V $$ $$\iint \limits_{S} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n}dS = \iiint \limits_{E} \frac{ \partial R}{\partial z} d V \tag{4}$$

(4)를 증명하자.

$$E=\{(x,y,z)|(x,y) \in D,\;\;u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y) \}$$

여기서 $D$는 $E$의 $xy$평면 위로의 정사영이다.

$$\iiint \limits_{E} \frac{ \partial R}{\partial z} d V =\iint \limits_{D} \left[ \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} \frac{\partial R}{\partial z} (x,y,z) dz \right] d A$$

$$\iiint \limits_{E} \frac{ \partial R}{\partial z} d V =\iint \limits_{D} \left[ R(x,y,u_1(x,y))-R(x,y,u_2(x,y)) \right] d A$$

경계면 $S$에서 $S_1$은 바닥면 $S_2$는 윗면 $S_3$는 $xy$평면과 수직인 옆면이라고 하자. (구와 같을 때는 $S_3$이 나타나지 않을 수 있다.)

$$\iint \limits_{S_3}R \mathbf{k}\cdot \mathbf{n} d S=0$$

이므로 신경 쓰지 않아도 된다. 따라서

$$\iint \limits_{S}R \mathbf{k}\cdot \mathbf{n} d S=\iint \limits_{S_1}R \mathbf{k}\cdot \mathbf{n} d S+\iint \limits_{S_2}R \mathbf{k}\cdot \mathbf{n} d \tag{5}S$$

$S_2$의 방정식은 $z=u_2(x,y)$이고 법선 벡터는 위쪽이므로

$$\iint \limits_{S_2}R \mathbf{k}\cdot \mathbf{n} d S=\iint \limits_{D}R (x,y,u_2(x,y))dA$$

$S_1$의 방정식은 $z=u_1(x,y)$이고 법선 벡터는 아래쪽이므로

$$\iint \limits_{S_1}R \mathbf{k}\cdot \mathbf{n} d S=-\iint \limits_{D}R (x,y,u_1(x,y))dA$$

따라서 (5)를 정리하면 아래와 같다.

$$\iint \limits_{S}R \mathbf{k}\cdot \mathbf{n} d S = \iint \limits_{D}\left[R (x,y,u_2(x,y))-R (x,y,u_1(x,y))\right]dA = \iiint \limits_{E} \frac{ \partial R}{\partial z} d V$$

같은 방법으로 나머지를 증명하여 마무리할 수 있다.

$\blacksquare$

https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem

Divergence theorem - Wikipedia