피타고라스 나무

프랙탈 도형인 피타고라스 나무가 있다. 만드는 일은 아주 단순하다.

정사각형 하나를 그린다.

빗변이 되는 한 변을 고르고 적당한 각으로 직각삼각형을 그린다.(꼭 직각삼각형이 아니라도 나무는 그려진다.)

나머지 두 변에 정사각형을 그린다. 같은 일을 되풀이 한다.

아래 연결고리를 눌러서 움직이는 그림으로 보자.

움직이는 그림으로 보기

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 $1$인 정사각형의 한 꼭짓점을 원점으로 삼각형의 한 각을 $\alpha$라 하자. 정사각형의 점을 $\mathbf{x}$라고 하면 아래와 같은 함수로 새로 그리는 정사각형의 점을 구할 수 있다.

왼쪽에 있는 정사각형의 점은 원점을 중심으로 시계반대방향으로 $\alpha$ 회전변환하고 닮음비가 $\cos \alpha$인 닮음변환한 다음 $y$축 방향으로 $1$만큼 평행이동하면 된다.

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\cos }(\alpha )} & { 0} \\ {0} & {{\cos }(\alpha )} \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\cos }(\alpha )} & { - \sin (\alpha )} \\ {\sin (\alpha )} & {{\cos }(\alpha )} \\ \end{array} } \right]{\mathbf{x}} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right]$$

따라서 왼쪽 정사각형의 점은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$${f_1}({\mathbf{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\cos }^2}(\alpha )} & { - \cos (\alpha )\sin (\alpha )} \\ {\cos (\alpha )\sin (\alpha )} & {{{\cos }^2}(\alpha )} \\ \end{array} } \right]{\mathbf{x}} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right]$$

오른쪽에 있는 정사각형의 점은 오른쪽 아래 꼭짓점 $(1,0)$을 중심으로 시계방향으로 $90^{\circ}-\alpha$ 회전변환하고 닮음비가 $\sin \alpha$인 닮음변환한 다음 $y$축 방향으로 $1$만큼 평행이동하면 된다. 다르게 말하면 $x$축 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 점을 $(0,0)$을 중심으로 $-90^{\circ}+\alpha$만큼 회전변환한 다음 다시 $x$방향으로 $1$, $y$축 방향으로 $1$만큼 평행이동하면 된다.

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\cos }(-90^{\circ}+\alpha )} & { 0} \\ {0} & {{\cos }(-90^{\circ}+\alpha )} \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\cos }(-90^{\circ}+\alpha )} & { - \sin (-90^{\circ}+\alpha )} \\ {\sin (-90^{\circ}+\alpha )} & {{\cos }(-90^{\circ} +\alpha )} \\ \end{array} } \right]\left( {\mathbf{x}}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -1 \\ 0 \\ \end{array} } \right] \right) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 1 \\ \end{array} } \right]$$

$$=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sin }(\alpha )} & { 0} \\ {0} & {{\sin}(\alpha )} \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sin}(\alpha )} & { \cos (\alpha )} \\ {-\cos (\alpha )} & {{\sin }(\alpha )} \\ \end{array} } \right]\left( {\mathbf{x}}+\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -1 \\ 0 \\ \end{array} } \right] \right) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 1 \\ \end{array} } \right]$$

마찬가지로 오른쪽 정사각형의 점은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$${f_2}({\mathbf{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\sin }^2}(\alpha )} & {\cos (\alpha )\sin (\alpha )} \\ { - \cos (\alpha )\sin (\alpha )} & {{{\sin }^2}(\alpha )} \\ \end{array} } \right]{\mathbf{x}} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\cos }^2}(\alpha )} \\ {1 + \cos (\alpha )\sin (\alpha )} \\ \end{array} } \right]$$

마지막으로 아래에 있는 정사각형은 항등변환으로 나타내면 된다.

$${f_3}({\bf{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { 1} & {0} \\ { 0} & { 1} \\ \end{array}} \right]{\bf{x}}$$

http://larryriddle.agnesscott.org/ifs/pythagorean/pythTree.htm

Pythagorean Tree