수학과 사는 이야기

자연수 세제곱을 더한 값을 그림으로 그리면 아래와 같다. 그림이 생각만큼 깔끔하게 나오지 않아서 아쉽다. $$1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 =(1+2+3+\cdot+n)^2$$ $$4(1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 )=(n^2+n)^2$$ $$1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 =\frac{1}{4}n^2(n+1)^2=\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^2$$ $$1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$$ $$1^3 +2^3+3^3+\cdots+n^3 =\frac{1}{2}\times n(n+1)\times \frac{1}{2}n(n+1)=\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^2$$ 사각수 그림도 하나 더 덧붙인다...

수학에서 쓰는 평균(Mean)은 여러 가지가 있다. 이들을 구별해 보자. 1. 산술평균: Arithmatic Mean 가장 많이 쓰는 평균이다. 등차수열에서 등차중항을 구하는 방법을 생각하면 된다. $a,\;AM,\;b$은 등차수열이면 $b-AM=AM-a$이다. $$AM=\frac{a+b}{2}$$ 2. 조화평균: Hamonic Mean $\displaystyle{\frac{1}{a},\;\frac{1}{HM},\;\frac{1}{b}}$이 등차수열을 이루면 $a,\;HM,\;b$은 조화수열이 된다. $$HM=\frac{2ab}{a+b}=\frac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}$$ 3. 기하평균: Geometric Mean $a,\;GM,\;b$은 등비수열이면 $b/GM=GM/a$..

옛날 수학자들은 그림으로 증명하기를 꺼렸다. 엄밀함을 잃을 가능성이 있기 때문이다. 점, 선, 면 모두 이데아 속에 있는 것인데 눈에 보이는 그림으로 나타내면 왜곡이 있을 수 있다. 이제는 그림을 손이 아니라 컴퓨터로 그리기 때문에 상당히 정확하게 그릴 수 있다. 그만큼 왜곡된 그림으로 잘못된 결론에 도달할 가능성이 줄었다. 그림은 우리에게 직관하는 즐거움을 안겨주기도 한다. 몇 가지 예를 들어 보자. 점과 직선 사이의 거리 점 $P$에서 직선 $y=mx+c$까지 거리 $d$를 구하는 방법을 설명하는 그림이다. 코사인 법칙 원의 성질로 증명 $$\overline{BA}\times \overline{AF}=\overline{EA}\times \overline{AG}$$ $$c(2a\cos B-c)=(a-b..

사인법칙 삼각비를 이용하여 삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기 사이의 관계를 알아보자. 삼각형 $ABC$에서 $\angle A ,\; \angle B,\; \angle C$의 크기를 각각 $A,\; B,\; C$로 나타내고, 이들의 대변의 길이를 각각 $a,\; b,\; c$로 나타내기로 한다. 마주보는 각의 크기와 변의 길이는 서로 비례한다는 것은 직관적으로 알 수 있다. 이 관계를 정확하게 나타낸 것이 바로 사인법칙이다. 더보기 $\triangle ABC$ 외접원의 중심을 $O$라 하고 $\angle A$의 크기에 따라 세 경우로 나누어 생각한다. 1) $\displaystyle{0

자연수의 합 먼저 자연수의 합은 등차수열 합으로 간단히 적을 수 있다. 이를 그림으로 나타내면 아래와 같다. $$\sum _{k=1} ^{n} k =1 +2 +3 + \cdots +n = \frac{1}{2}n(n+1)$$ $\bullet$ $\overbrace{\bullet \bullet \bullet \bullet \cdots \cdots \bullet}^{n}$ $\bullet \bullet$ $\overbrace{\bullet \bullet \bullet \bullet \cdots \bullet}^{n-1}$ $\bullet \bullet \bullet$ $+$ $\overbrace{\bullet \bullet \bullet \cdots \bullet}^{n-2}$ $\vdots$ $\vdots$..