'수학이야기/기하벡터' 카테고리의 글 목록 (3 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기/기하벡터

반응형
포드 원(Ford circles)
수학이야기/기하벡터 2019. 6. 24. 22:29
아폴로니안 가스켓을 공부하다가 포드-원(Ford circles)도 공부하게 되었다. 이런 재밌는 기하를 왜 이제야 알았을까? 포드-원은 아래와 같이 평행한 두 직선 사이에 접하는 원을 한 없이 그려서 만드는 도형이다. 아폴로니안 가스켓$(-1,2,2,3)$을 반전시켜서 얻어지는 도형에서 $x$축에 접하는 원만 따로 모으면 된다. 처음 시작하는 두 원의 반지름이 $1$이라고 하면 이어지는 원들의 중심은 $(p/q,1/2q^2)$인데 $x$좌표만 놓고 보면 아주 재밌는 수열(Farey sequence)을 이룬다. 이제 새로운 연산을 정의하자. $$\frac{p}{q}\oplus \frac{r}{s}=\frac{p+r}{q+s}$$ 마치 분수 덧셈을 모르는 아이들 계산처럼 보인다. 이 연산으로 얻어지는 값을 ..
Apollonian gasket #2
수학이야기/기하벡터 2019. 6. 19. 11:06
반전 기하로 아폴로니안 가스켓에 있는 원들의 반지름을 구해보자. 중심 $O$인 파란 원에 대한 반전을 생각하자. 원 $C_n$의 반전이 $C^{\prime}_n$임을 아래와 같이 나타내자. $$I(C_n)=C^{\prime}_n$$ 두 원 $C_0$과 $C_1$은 중심 $O$를 지나므로 그림과 같이 직선 $C^{\prime}_0$와 $C^{\prime}_1$으로 반전된다. 원 $C_3$은 직선 $C^{\prime}_0$와 $C^{\prime}_1$에 접하는 원 $C^{\prime}_2$로 반전된다. 귀납적으로두 원 $C_0$과 $C_1$에 접하는 원은 모두 $C^{\prime}_2$와 반지름이 같은 원으로 반전되고 $C_1$과 $C_{2k+1}$과 접하는 원은 $C^{\prime}_1$과 $C^{\pri..
예술같은 문제 풀이
수학이야기/기하벡터 2019. 6. 19. 08:46
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Circular_Inversion Art of Problem Solving Circular Inversion, sometimes called Geometric Inversion, is a transformation where point in the Cartesian plane is transformed based on a circle with radius and center such that , where is the transformed point on the ray extending from through . Note tha artofproblemsolving.com 아래 그림에서 중심을 지나는 원 위에 있는 점은 모..
원에 대한 반전 기하
수학이야기/기하벡터 2019. 6. 18. 21:08
기하학에서 반전 기하는 유클리드 평면의 변환에서 유형을 일반화할 때 보존되는 도형의 성질을 연구하는 것이다. 이런 변환은 각을 보존하고 일반화된 원을 일반화된 원으로 반전한다. 일반화된 원은 원 또는 선(거칠게 말하면 반지름이 무한한 원)을 뜻한다. 기하학에서 많은 어려운 문제는 반전을 적용하면 훨씬 다루기 쉽다. 두 점 $P$와 $P^{\prime}$가 아래 식을 만족하면 두 점은 서로 중심이 점 $O$인 원 c에 대한 반전(circle inversion)이다. $$OP\times OP^{\prime}=r^2$$ 위에 있는 식을 다르게 표현하면 아래와 같다. $$r:OP=OP^{\prime}:r$$ 따라서 아래 그림과 같이 작도할 수 있다. 1. 원 내부에 있는 점 $P$ 직선 $OP$를 긋는다. 점 ..
Apollonian Gasket #1
수학이야기/기하벡터 2019. 6. 17. 16:49
기하는 재밌다. 아주 우연히 아폴로니안 가스켓을 보았다. https://en.wikipedia.org/wiki/Apollonian_gasket 주어진 세 원에 모두 접하는 계속 그려나가면 얻어지는 프랙탈 도형이다. 규칙이 단순하므로 처음엔 아주 간단할 줄 알았다. 그런데 막상 구하려고 해 보니 영 쉽지 않다. 며칠 고생을 한 끝에 그리는 방법을 알았다. 말 그대로 반전이 있었다. 원에 대칭인 도형을 다루는 반전 기하를 알아야 해결할 수 있다. 아직 반지름을 구하는 데카르트 정리까지는 갈 길이 멀지만 일단 올려둔다. 먼저 쉽게 다가설 수 있는 그림을 그리자. 1. 반지름이 $1$인 원 안에 반지름이 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$인 원을 둘 그리자. 2. 세 원에 동시에 접하는 원은 반..

티스토리툴바