'수학이야기/기하벡터' 카테고리의 글 목록 (2 Page)::::수학과 사는 이야기

수학이야기/기하벡터

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칼라일 원(Carlyle Circle)
수학이야기/기하벡터 2020. 8. 6. 19:00
위키백과 칼라일 원을 우리말로 옮긴다. 칼라일 원은 좌표평면에 있는 이차방정식과 관계된 원이다. 이 원이 $x$축과 만나는 점은 주어진 이차방정식의 해이다. 칼라일 원은 정다각형의 작도법을 발전시키는 데 사용되었다. 정의 아래와 같이 주어진 이차방정식의 '칼라일 원'은 두 점 $A(0,1)$과 $B(s,p)$를 지름의 양 끝으로 가지는 원이다. $$x^2 -sx+p=0$$ 정의 확인 선분 $AB$가 지름인 원의 방정식은 $$x(x-s)+(y-1)(y-p)=0$$ 이고 이 원과 $y=0$과 만나는 점인$x$ 절편은 주어진 이차방정식의 근이다. $$x^2 -sx+p=0$$ 정다각형 작도하기 정오각형을 작도하는 문제는 아래 방정식의 근을 구하는 문제와 같다. $$z^5 -1=0$$ 한 근인 $z_0=1$는 $..
미적분이 없는 세상은 슬픔 아니면 기쁨?
수학이야기/기하벡터 2019. 11. 24. 02:13
구적법은 영어로 quadrature이다. 아르키메데스는 소진법(exhaustion)으로 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구했다. 요즘이야 고등학교에서 배우는 미적분으로도 아주 간단하게 구할 수 있다. 아르키메데스는 어떻게 했을까? 좌표도 미적분도 없이 포물선과 직선 사이의 넓이를 구하는 일은 생각보다 쉽지 않지만 미적분과 다른 또 다른 재미가 있다. 좌표가 얼마나 고마운 도구인가 새삼스레 깨달을 수 있다. 온통 미적분으로 가득찬 현대 수학이 지루해진 사람을 위해 그리스 기하학이 품고 있는 즐거움을 보여주고 싶은 마음으로 위해 정리해 둔다. 엔틱이 유행이니 고전 가운데 고전인 그리스 기하학을 잠깐 구경해 보자. 구적법이란? 구적법(quadrature)은 주어진 도형과 넓이가 같은 정사각형을 찾는 ..
아르키메데스와 포물선
수학이야기/기하벡터 2019. 11. 20. 16:24
아래와 같이 아르키메데스(?. 287 – ?. 212 BC)는 구적법으로 포물선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구했다. 아르키메데스 소진법으로 부르는 방법을 보면 왜 그의 이름이 수쳔 년간 기억되는가 알게 된다. 기원전에 어찌 이런 생각을 했을까 정말 놀랍다. 정의 포물선 단면(parabolic segment) 그림과 같이 포물선을 자르는 선분 $AB$와 잘린 포물선으로 둘러싸인 도형이다. 이때 선분 $AB$ 가장 멀리 떨어진 점 $P$를 꼭짓점(Vertex)이라 한다. 멋진 풀이를 맛보려면 먼저 포물선이 가지고 있는 성질을 몇 가지 정리해야 한다. 포물선 위에 있는 점은 준선과 초점에 이르는 거리가 같다. 정리 1. 준선 위에 있는 점과 초점을 수직이등분하는 선은 포물선에 접한다. 정리 2. 그림에..
아폴로니안 개스킷 #3
수학이야기/기하벡터 2019. 7. 5. 13:29
이제까지 공부한 내용을 피디에프로 만들어 놓는다.
아벨로스(Arbelos): 구두장이가 쓰는 칼
수학이야기/기하벡터 2019. 6. 28. 10:03
아벨로스(Arbelos)는 구두장이가 가죽을 자르고 다듬을 때 쓰는 칼을 이르는 그리스말이다. 아래와 같이 반원 c에 내접하고 서로 외접하는 두 반원 d,c로 이루어진 도형이다. 이 간단한 도형에 원과 관련된 성질이 아주 많아서 오늘날도 연구 대상이 되고 있는 도형이다. 그리스 수학자 아르키메데스, 아폴로니우스가 많은 연구를 하였다. 여기에 아폴로니우스 가스킷을 만들어 가는 과정을 적고자 한다. 먼저 아벨로스는 원 c 위의 임의의 점을 $C$를 잡고 원주각을 이등분하는 직선과 지름이 만나는 점 $D$를 찾는다. 나누어진 선분을 지름으로 하는 두 원 d, e를 그린다. 이렇게 만든 아벨로스는 아래와 같은 성질이 있다. 1. 아벨로스는 호 c 길이의 2배이다. 호 c 길이는 호 d,e를 더한 것과 같다. 2..

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