정의와 공리 그리고 정리
수학이야기
2014. 9. 1. 12:22
수학에는 정의(Definition)와 공리(Axiom) 그리고 정리(Theorem)가 있다. 공리(Axiom) 그리스말 ἀξίωμα에서 비롯된 말이다. 수학책의 모범으로 생각하는 유클리드 원론을 생각하면 이해가 쉽다. 원론은 먼저 점, 선, 면, 원과 같은 것을 정의한다. 다음으로 5개의 공준과 5개의 공리를 쓰고 그 아래 이어지는 명제를 하나씩 차례로 증명하고 있다. 앞에 증명된 명제로만 증명할 수 있도록 순서를 매겨 놓았다. 2300년쯤 전에 이런 책을 쓸 수 있었다는 것이 그저 놀라울 따름이다. 원론이 나온 다음부터 수학을 공부하는 이는 모두 유클리드를 따랐다. 정의를 내리고 공리를 정하고 정리를 이끌어 낸다. 공리는 서로 모순이 없어야 하고 다른 모든 정리를 이끌어 낼 수 있어야 한다. 그러나 그..