수학과 사는 이야기

곡선 $y=f(x)$을 아래와 같이 다각형으로 잘라서 길이를 구한다. 근삿값의 수열이 극한이 있다면 이를 길이로 정의한다. $x=a,\;\;x=b$ 사이를 $n$등분하여 $x_n$을 잡고 $P_i (x_i ,y_i )$로 놓자. $$x_i =a+i\Delta x\;\;\bigg(\Delta x=\frac{b-a}{n}\bigg)$$ 곡선의 길이를 $L$이라고 하면 $$\begin{equation}L=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\big|P_i -P_{i-1}\big|\end{equation}$$ 이다. 이제 이 식을 정리해 보자. $\Delta y_i =y_i -y_{i-1}$라고 하면 $$\big|P_i -P_{i-1}\big|=\sqrt{(x_i -x_{i-..