수학과 사는 이야기

$$\sum_{n=1}^{\infty}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$$ 위에 있는 무한급수는 수렴함을 알고 있다. 이 급수가 수렴하는 값을 구하는 문제는 이탈리아 수학자 Pietro Mengoli가 1650년에 처음으로 제시하였는데 오일러(Leonhard Euler)가 1734년에 해결했다. 오일러가 태어난 도시가 바젤이라서 바젤 문제라고 부른다. 앞서 리만-제타 함수로 해결하는 방법을 적은 글이 있지만 기하로 다가서는 풀이을 적어 두려고 한다. 심심풀이로 본 유튜브에서 본 걸 옮겨 놓는 것이다. 아래 연결고리를 따라가면 볼 수 있다. https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls 문제를 물리로 해석하기 위해 ..

리만-제타 함수는 아래와 같다. $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$ $s=2$일 때 함숫값 $\zeta(2)$는 바젤 문제(Basel Problem)라고도 부르는데 오일러가 처음으로 값을 구했다. 수열 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}}$은 단조증가하고 위로 유계이므로 무한급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}$은 수렴한다. $$\begin{split}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}&=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}\\&< 1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-1)n}\\&=1+\lim..

마치 무한차 다항식(infinite polynomials)처럼 보이는 변수 $x$를 포함한 무한급수가 거듭제곱 급수(power series)다. 오른쪽 급수가 $f(x)$로 수렴하는 것이므로 부분합 $P_n(x)$를 함수식 $f(x)$에 매우 비슷한 다항식으로 생각할 수 있다. 거듭제곱 급수는 서로 연산하여 새로운 급수를 만들 수 있고 항별로 미분하거나 적분할 수 있어서 매우 쓸모가 많다. 주어진 함수로 수렴하는 거듭제곱 급수를 찾는 방법 가운데 가장 많이 쓰는 것이 바로 테일러 급수다. $$\frac{d}{dx} \tan^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2 +x^4 -x^6 +\cdots$$ 양변을 적분하면 $$\tan^{-1}x +C=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}..

임의로 고른 두 자연수가 서로소(relative prime)일 확률을 구할 수 있을까? 답은 구할 수 '있다'이다. 나름 재미있어서 정리해 둔다. 두 자연수 $A, B$가 서로소일 확률을 $P$라고 하자. 먼저 최대공약수가 $2$인 확률을 구해보자. 최대공약수가 $2$인 것은 두 수 $A,B$ 모두 $2$의 배수이고 $\displaystyle{\frac{A}{2},\frac{B}{2}}$는 서로소이다. 어떤 자연수가 $2$의 배수일 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{2}}$이므로 최대공약수가 $2$일 확률은 $\displaystyle{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times P}$이다. 이제 두 자연수가 $n \in \mathbb{N}$을 최대공약수로 가질 확률..

수학 시간에 만나는 상수는 변수보다 만만하다. 그러나 깊이 들어가면 상수도 만만치 않다. 세상에 있는 많은 변수를 이해하려면 먼저 상수부터 알아야 한다. 아래 함수를 보면 생각나는 것이 있는가? $$\phi(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e ^ {-\frac{x^2}{2}}$$ 표준정규분포의 확률밀도함수임을 알고 있다면 수학 공부 좀 한 사람이다. 세상에서 일어나는 많은 걸 분석할 수 있게 해주는 함수다. 신기하게도 이 함수에는 수학에서 자주 사용하는 두개의 상수 원주율 $\pi$와 오일러 상수 $e$가 함께 쓰였다. 세상을 알려면 먼저 원주율부터 공부해야 한다. 원주율 $\pi$ 원주율 $\pi$는 지름(d)에 대한 원의 둘레(C)의 비율이다. $$\pi=\frac{C}{d}$$ 원주율을..