수학과 사는 이야기

정적분을 하다보면 계산이 무척 복잡하여 빨리 구하기 어려울 때가 많다. 이 때 함수를 평행이동하여 적분하면 간편하게 구할 수 있을 때가 많다. 다음 정적분의 값을 구해보자. $$\int_{-2}^{3} (x+2)(x-3)dx$$ 먼저 전개를 하면 $$\int_{-2}^{3} (x^2 -x-6)dx$$ 이 된다. 그리 어렵지는 않지만 귀찮다. 함수를 $x$축 방향으로 $2$ 평행이동하고 구간도 같이 옮겨주면 정적분 값은 같다. 따라서 $\int_{0}^{5} x(x-5)dx$의 값을 구하면 된다. 이것은 $x+2=t$로 치환한 것과 같은 의미다. 일반적으로 $$\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)dx$$ 에서 $x-\alpha=t$로 치환하면 $$a \int_{0}^..

구분구적법 일반적으로 평면도형의 넓이나 입체의 부피를 구할 때, 주어진 도형을 작게 나눈 기본 도형의 넓이나 부피의 합으로 근삿값을 구한 다음, 그 근삿값의 극한으로써 주어진 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법을 구분 구적법이라고 한다. 곡선 $y=x^2$와 $x$축, 직선 $x=2$ 으로 둘러싸인 부분의 면적을 구분구적법으로 구해보자. 구하려는 부분의 넓이를 $S$라고 하자. 등분한 수를 점점 늘려나가면 점점 오차가 줄어드는 것을 알 수 있다. $n$등분 한 경우는 $$ \sum_{k=1}^{n-1}\frac{2}{n}\bigg( \frac{2k}{n} \bigg)^2 < S < \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n} \bigg( \frac{2k}{n}\bigg)^2$$ 이다 여기에서 $$ \l..