구분구적법과 정적분

구분구적법

일반적으로 평면도형의 넓이나 입체의 부피를 구할 때, 주어진 도형을 작게 나눈 기본 도형의 넓이나 부피의 합으로 근삿값을 구한 다음, 그 근삿값의 극한으로써 주어진 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법을 구분 구적법이라고 한다.

곡선 $y=x^2$와 $x$축, 직선 $x=2$ 으로 둘러싸인 부분의 면적을 구분구적법으로 구해보자.

구하려는 부분의 넓이를 $S$라고 하자.

등분한 수를 점점 늘려나가면 점점 오차가 줄어드는 것을 알 수 있다.

$n$등분 한 경우는

$$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2}{n}\bigg( \frac{2k}{n} \bigg)^2 < S < \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n} \bigg( \frac{2k}{n}\bigg)^2$$

이다

여기에서 

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{n} \bigg( \frac{2k}{n} \bigg)^2 < S < \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n}\bigg( \frac{2k}{n} \bigg)^2$$

이다.

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{2}{n}\bigg( \frac{2k}{n} \bigg)^2 =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{8}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1} k^2=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{8}{n^3}\frac{1}{6}(n-1)n(2n-1)= \frac{8}{3}$$

$$\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n}\bigg( \frac{2k}{n} \bigg)^2 =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{8}{n^3}\sum_{k=1}^{n} k^2=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{8}{n^3}\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)= \frac{8}{3}$$

 

 

그러므로 $\displaystyle{S=\frac{8}{3}}$이다.

당연히 넓이와 마찬가지로 부피도 구분구적법으로 구할 수 있다.

감자로 미적분

 

위와 같은 구분구적법에 쓰인 개념을 일반화하여 정적분을 정의할 수 있다.

 

 

정적분

 

닫힌구간$[a,b]$ 에서 연속인 함수 $y=f(x)$를 생각하자. 여기에서 기하에서의 면적으로 이해하기 위하여 $f(x)\geq 0$이라고 가정하자.

$n$등분 한 후 직사각형의 넓이의 합의 극한을 정적분으로 정의하자. 각 사각형의 가로의 길이는 모두 $\displaystyle{\frac{b-a}{n}=Δx}$이다.

각각의 나누어진 점을 $a=x_0 ,\; x_1 , \;x_2 ,\;\cdots , \;x_n=b$라고 하면 이들은 공차가 $\Delta x$인 등차수열을 이룬다. 즉, $x_k=a+kΔx$ 이다. 그러므로 직사각형 `n`개의 넓이의 합은 $$\sum_{k=1}^{n}f(x_k ) Δx$$ 이고, 이 값의 극한값 $$\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}f(x_k ) Δx$$ 을 a에서 b까지의 정적분 $$\int_{a}^{b} f(x)dx$$ 으로 정의한다.

정적분의 정의

닫힌구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $y=f(x)$에서 

$$\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}f(x_k ) Δx \;\;( 단, x_k =a+kΔx, \;\;Δx= \frac{b-a}{n})$$

무게를 달아서 정적분을 하는 영상이 있어서 올려둔다.