수학과 사는 이야기

차례 초등학교에서 소수를 배운다. 여기서 소수는 1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수를 일컫는다. 한자로 素數라 쓰고 사잇소리를 넣어 ‘소쑤’라 읽는다. 문화어로는 ‘씨수’, 영어로는 prime number다. 한자인 素는 물들이지 않은 명주실을 뜻하는 글자로 바탕이나 처음을 뜻한다고 한다. prime은 으뜸, 첫째를 뜻하는 라틴어 primus에서 온 말이니 문화어 ‘씨수’가 뜻이 제법 와닿는다. 이제 우리나라에서 한자는 생명을 다하는 느낌이다. 아무튼 말은 달라도 부르는 이름에서 소수가 상당히 중요한 무엇임을 느낄 수 있다. 우리는 대부분 소인수분해를 쉽게 여긴다. 1272와 1271을 소인수분해 해보자. 차이는 1이지만 난이도는 완전 다르다. 소수를 찾는 규칙이 없어서 어떤 수를..

$$\sum_{n=1}^{\infty}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots$$ 위에 있는 무한급수는 수렴함을 알고 있다. 이 급수가 수렴하는 값을 구하는 문제는 이탈리아 수학자 Pietro Mengoli가 1650년에 처음으로 제시하였는데 오일러(Leonhard Euler)가 1734년에 해결했다. 오일러가 태어난 도시가 바젤이라서 바젤 문제라고 부른다. 앞서 리만-제타 함수로 해결하는 방법을 적은 글이 있지만 기하로 다가서는 풀이을 적어 두려고 한다. 심심풀이로 본 유튜브에서 본 걸 옮겨 놓는 것이다. 아래 연결고리를 따라가면 볼 수 있다. https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls 문제를 물리로 해석하기 위해 ..

리만-제타 함수는 아래와 같다. $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$ $s=2$일 때 함숫값 $\zeta(2)$는 바젤 문제(Basel Problem)라고도 부르는데 오일러가 처음으로 값을 구했다. 수열 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}}$은 단조증가하고 위로 유계이므로 무한급수 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}$은 수렴한다. $$\begin{split}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}&=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2}\\&< 1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-1)n}\\&=1+\lim..