수학과 사는 이야기

갑자기 라플라스 변환을 써야 할 때 찾아보기 쉽게 정리해 둔다. 정의 함수 $f$의 라플라스 변환은 $t \geq 0$에서 정의된 함수를 아래와 같이 적분했을 때, 이 적분의 극한이 되는 함수다. $$F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_{0}^{b} e^{-st} f(t) dt$$ 이것을 기호로는 $\mathscr{L}\{f(t)\}=F(s)$로 적는다. 첫 번째 변환 정리 $a\in \mathbf{R}, F(s)=\mathscr{L}\{ f(t) \}$ $$\mathscr{L}\{ e^{at} f(t) \}= \mathscr{L}\{ f(t) \}_{s \rightarrow s-a}=F(s-a) \tag{1..

입력하려니 엄두가 나지 않아서 손글씨로 올려 둔다. 많이 한가해지면 차근차근 정리해 볼 작정이다. 나이 먹어서 공부하니 즐겁다. 대학 때 이렇게 열심히 공부했으면 박사가 되었을까?^^ 요즘 공부를 하는 까닭은 갑자기 물리를 공부하고 싶어졌기 때문이다.

먼저 고차 미분방정식을 풀기 위한 기본 정의와 정리를 확인하자. 2차 이상인 미분방정식을 해결하려면 먼저 2차인 미분방정식을 풀어야 한다. 먼저 아래와 같이 계수가 상수인 간단한 2차 미분방정식을 풀어 보기로 하자. $$ay^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=0$$ 이 방정식이 $y=e^{r x}$($r$은 상수)를 해로 가진다고 하자. $$y^{\prime}=r e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x}$$ 이므로 주어진 방정식은 아래와 같이 바꿀 수 있다. $$ar^2e^{rx}+bre^{rx}+ce^{rx}=0$$ 이것은 이차방정식 $ar^2 +br+c=0$을 풀이하는 것과 같다. 이 이차방정식을 보조 또는 특성 방정식(auxiliary or c..