수학과 사는 이야기

1. 접선의 기울기 $P(r,\theta)$를 곡선 $C$ 위의 점이라 하고 곡선의 방정식을 $$r=f(\theta)$$라 하자. 점 $P$에서 기울기 $\tan \alpha$를 구해보자. $$x=r\cos\theta,\;\;y=r\sin\theta$$ 에서 $$\frac{dx}{d\theta}=r^{\prime}\cos\theta-r\sin\theta,\;\;\frac{dy}{d\theta}=r^{\prime}\sin\theta+r\cos\theta\;\bigg(r^{\prime}=\frac{dr}{d\theta}\bigg)$$ 이다. 여기서 $\displaystyle{\frac{dx}{d\theta}\not=0}$이면 접선의 기울기는 $$\tan \alpha=\frac{dy}{dx}=\frac{r^{..

평면에 있는 점의 위치를 나타내는 좌표계(coordinate system)는 좌표라고 부르는 순서쌍으로 나타낸다. 보통 수직인 두 축까지 거리를 쓰는 데카르트 좌표를 사용한다. 여러 가지로 편리한 표현이지만 때로는 뉴턴이 소개한 극좌표를 쓰는 것이 편리하다. 극좌표를 살펴보자. 평면 위 점을 하나 골라 극(pole) 또는 원점(origin)으로 부르고 $O$로 적는다. $O$를 시작점으로 하는 반직선을 그리고 극축(Polor axis)으로 부르자. 보통 데카르트 좌표계에서 $x$축 양의 방향을 극축으로 잡는다. 이제 점 $P$가 극(원점)과 떨어진 거리 $|\overrightarrow{OP}|=r$과 $\overrightarrow{OP}$이 극축과 이루는 각(radian) $\theta$의 순서쌍 $(r..