이차곡선의 접선이 가진 성질
수학이야기/기하벡터 2011. 5. 4. 12:471. 포물선
$y^2 =4px$
- 초점에서 접점까지의 거리는 초점에서 접선이 포물선의 축과 만나는 점까지의 거리와 같다.
- 포물선의 접선은 초점을$F$, 접점을 $P$, 접점에서 준선에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 $\angle FPH$를 이등분한다.
위에 있는 그림에서 사각형 $HPFT$는 마름모이다.
결국 접선은 선분 $HF$의 수직이등분선이다. 이 사실을 이용하여 포물선을 작도할 수 있다. 참고 이차곡선의 포락선
- 초점에서 접선에 내린 수선의 발은 꼭짓점에서의 접선 위에 있다.
- 서로 수직인 접선의 교점은 포물선의 준선 위에 있다.
대수로 증명하기
포물선 $y^2=4px$에 접하는 접선 기울기가 $m$이라 하자.
접선의 방정식을 $y=mx+n$이라고 하자.
$$\begin{split}(mx+n)^2 &=4px\\m^2 x^2 +2mnx+n^2&=4px\\m^2 x^2+2(mn-2p)x+n^2&=0\end{split}$$
$$D/4=(mn-2p)^2 -m^2 n^2=-2p(2mn-2p)=0$$
$$n=\frac{p}{m}$$
따라서 기울기 $m$인 접선 방정식은
$$y=mx+\frac{p}{m}$$
이다. 이와 수직인 접선의 방정식은
$$y=-\frac{1}{m}x-pm$$
이다. 교점을 구하면 $x=-p$이다.
$\blacksquare$
- 포물선 위의 서로 다른 두 점 $P_1, P_2$를 잇는 직선이 초점을 지나면 $P_1, P_2$에서 그은 두 접선은 서로 수직으로 만난다.
2. 타원
$b^2 x^2 + a^2 y^2 =a^2 b^2$
- 초점이 $F_1,F_2$인 타원 위의 한 점 $P$에서의 접선에 수직이고 점 $P$를 지나는 직선은 $\angle F_1PF_2$를 이등분한다.
증명
두 초점을 $F_1,\;F_2$이라 하자.
점 $P$를 지나는 직선에 대하여 점 $F_2$와 대칭인 점을 $F_2^{\prime}$이라 하자.
$\overline{F_2P}=\overline{ F_2^{\prime}P}$이므로
직선 $F_1 F_2^{\prime}$는 점 $P$를 지난다.
접선 위에 $P$가 아닌 다른 점을 $P^{\prime}$이라 하자.
$\overline{F_1P^{\prime}}+\overline{P^{\prime}F_2^{\prime}}>\overline{F_1F_2^{\prime}}$이므로 타원 위에 있지 않다.
따라서 접선은 선분 $F_2 F_2^{\prime}$의 수직이등분선이다.
점 $P$에서 접선에 수직인 직선은 직선 $F_2F_2^{\prime}$와 평행이므로 $\angle F_1PF_2'$를 이등분한다.
$\blacksquare$
- 초점에서 접선에 내린 수선의 발은 장축을 지름으로 하는 원 위에 있다.
증명
아래 그림에서
$\overline{PF^{\prime}}+\overline{PF}=\overline{PF^{\prime}}+\overline{PF^{\prime\prime}}=2a$
$\overline{OF}=\overline{OF^{\prime}},\;\;\overline{F^{\prime\prime}H}=\overline{HF}$이므로
$\overline{F^{\prime}F^{\prime\prime}} //\overline{OH}$
$\overline{OH}=a$
마찬가지로
$\overline{OH^{\prime}}=a$
$\blacksquare$
- 두 초점에서 임의의 접선까지의 거리의 곱은 일정하고 단축의 길이의 반의 제곱과 같다.
증명
1. 대수적 증명
1) 접점이 꼭지점이면 당연하므로 생략.
2) 접점이 꼭지점이 아닐 때. 기울기 $m$인 접선은 $y=mx\pm\sqrt{a^2 m^2 +b^2}$
이때, 접선 $mx-y+\sqrt{a^2 m^2 +b^2}=0$까지 두 초점 $F'(-c,0), F(c,0)$에서 이르는 거리를 구하면
각각 $\displaystyle{d'=\frac{|mc+\sqrt{a^2 m^2 +b^2}|}{\sqrt{m^2 +1}}}$
$\displaystyle{d=\frac{|-mc+\sqrt{a^2 m^2 +b^2}|}{\sqrt{m^2 +1}}}$
$\displaystyle{\therefore d' \times d =\frac{|-m^2 c^2 +a^2 m^2 +b^2|}{m^2 +1} =b^2}$
2. 기하적 증명
그림과 같이 $\overline{F^\prime H^\prime}=d,\;\;\overline{FH}=d^\prime$라고 하자.
타원의 중심 $O$에서 접선에 내린 수선의 발을 $M$, $\overline{FH}$에 내린 수선의 발을 $N$이라고 하자.
$\displaystyle{\overline{OM}=\frac{1}{2}(d+d^\prime)}$이고
$\displaystyle{\overline{FN}=\frac{1}{2}(d-d^\prime)}$이다.
$\overline{OH}=a$임은 위 2)에서 보였다.
$\overline{OF}^2=\overline{FN}^2 + \overline{ON}^2$이므로
$\overline{OH}^2 = \overline{ON}^2 + \overline{NH}^2$을 정리하여
$\overline{OH}^2 = \overline{OF}^2 -\overline{FN}^2 + \overline{NH}^2$
$\displaystyle{a^2=a^2 -b^2 -\bigg(\frac{1}{2}(d-d^\prime)\bigg)^2 +\bigg(\frac{1}{2}(d+d^\prime)\bigg)^2 }$
$\therefore\;\;dd^\prime =b^2$
$\blacksquare$
- 타원에 수직인 서로 다른 두 접선의 교점이 그리는 자취는 중심이 원점이고 반지름이 $\sqrt{a^2 +b^2}$인 원이다.
증명
기울기 $m$인 접선은 $y=mx \pm \sqrt{a^2 m^2 +b^2}$
두 접선이 $P(s,t)$에서 수직으로 만난다고 하자.
$t=ms \pm \sqrt{a^2 m^2 +b^2}$
$t-ms= \pm \sqrt{a^2 m^2 +b^2}$
$(t-ms)^2 = a^2 m^2 +b^2$
$\therefore (s^2 - a^2 )m^2 -2stm +t^2 -b^2=0$
1) $s^2 -a^2 =0$이면 $s=\pm a, t= \pm b$
$P(s,t)$는 $P(a,b)$,$P(a,-b)$,$P(-a,b)$,$P(-a,-b)$ 넷 가운데 하나인데 모두 다 접선이 수직으로 만난다.
2) $s^2 -a^2 \not=0$이면, 기울기 곱이 $\displaystyle{\frac{t^2 -b^2}{s^2 -a^2}=-1}$
$s^2 +t^2 =a^2 +b^2$
$\blacksquare$
위에 증명한 것을 활용하여 아래와 같이 기하적으로 증명할 수 있다.
장축과 단축의 길이가 각각 $2a,2b$인 타원에 서로 수직인 접선 넷을 생각하자.
$\blacksquare$
3. 쌍곡선
$b^2 x^2 -a^2 y^2 =a^2 b^2$
- 초점이 $F,F'$인 쌍곡선 위의 한 점 $P$에서의 접선은 $\angle FPF'$를 이등분한다.
증명
두 초점을 $F^{\prime}(-c,0),\;F(c,0)\;\;\;(c^2=a^2+b^2)$이라 하자.
$P(x_1,y_1)$라고 하면 $b^2 x_1^2 -a^2 y_1^2 =a^2 b^2$이고 접선의 방정식은 $b^2 x_1x -a^2 y_1y =a^2 b^2$이다. 한편, $\displaystyle{A\bigg(\frac{a^2}{x_1},0\bigg)}$이다.
$$\;(x_1\pm c)^2+y_1^2=x_1^2\pm 2cx_1+c^2+y_1^2=x_1^2\pm 2cx_1+c^2+\bigg(\frac{b^2}{a^2}x_1^2 -b^2\bigg)$$
$$=\frac{1}{a^2}(c^2 x_1^2\pm 2a^2cx_1+a^4)=\frac{1}{a^2}(cx_1\pm a^2)^2\;\;\;\; (\because\; c^2=a^2+b^2)$$
$$\frac{\overline{PF^{\prime}}}{\overline{PF}}=\frac{\sqrt{(x_1+c)^2+y_1^2}}{\sqrt{(x_1-c)^2+y_1^2}}=\frac{|cx_1+a^2|}{|cx_1-a^2|}=\frac{\bigg|c+\frac{a^2}{x_1}\bigg|}{\bigg|c-\frac{a^2}{x_1}\bigg|}=\frac{\overline{AF^{\prime}}}{\overline{AF}}$$
$\blacksquare$
- 초점에서 접선에 내린 수선의 발은 주축을 지름으로 하는 원 위에 있다.
증명
초점 $F$를 지나고 접선에 내린 수선의 발을 $H$라고 하고, 직선 $FH$가 직선 $PF^{\prime}$와 만나는 점을 $C$라 하자.
앞에서 접선은 $\angle F^{\prime}PF$를 이등분함을 보였다.
따라서 $\overline{FH}=\overline{HC}$이다.
주축의 중점을 $O$라고 하면 $\overline{F^{\prime}O}=\overline{OF}$이다.
중점 연결 정리에 따라 직선 $PF^{\prime}$와 직선 $OH$는 평행이고
$$\overline{F^{\prime}C}=2\times\overline{OH}\tag{1}$$
또한 $\overline{PF}=\overline{PC}$이므로
$$\overline{F^{\prime}C}=\overline{PF^{\prime}}-\overline{PC}=\overline{PF^{\prime}}-\overline{PF}$$
쌍곡선 정의에 따라 $\overline{F^{\prime}C}$는 길이가 일정하다.
따라서 $\overline{OH}$도 일정하고 주축 길이의 $1/2$과 같다.
그러므로 점 $H$는 주축을 지름으로 하는 원 위에 있다.
$\blacksquare$
- 접점은 접선과 두 점근선이 만나는 점을 이은 선분의 중점이다.
증명
$T(x_1 ,y_1 )$에서 접선 방정식은$b^2 x_1 x-a^2 y_1 y =a^2 b^2$
점근선 $\displaystyle{y=\pm \frac{b}{a}x}$와 접선이 만나는 점은 아래와 같다.
$\displaystyle{P\left(\frac{a^2 b}{bx_1 +ay_1}, \frac{-a b^2}{bx_1 +ay_1}\right)}$
$\displaystyle{Q\left(\frac{a^2 b}{bx_1 -ay_1}, \frac{a b^2}{bx_1 -ay_1}\right)}$
중점의 좌표는 $\displaystyle{M\left(\frac{a^2 b^2 x_1}{b^2 x_1^2 -a^2 y_1^2}, \frac{a^2 b^2 y_1}{b^2 x_1^2 -a^2 y_1^2}\right)}$
$b^2 x_1^2 -a^2 y_1^2=a^2 b^2$이므로
$\therefore M=T$
- 접선과 두 점근선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 일정하다.
증명
위 증명에서 접선과 점근선이 만나는 점은
$\displaystyle{P\left(\frac{a^2 b}{bx_1 +ay_1}, \frac{-a b^2}{bx_1 +ay_1}\right)}$
$\displaystyle{Q\left(\frac{a^2 b}{bx_1 -ay_1}, \frac{a b^2}{bx_1 -ay_1}\right)}$
$\displaystyle{\triangle OPQ=\frac{1}{2}\left|\frac{a^2 b}{bx_1 +ay_1} \frac{a b^2}{bx_1 -ay_1}- \frac{-a b^2}{bx_1 +ay_1}\frac{a^2 b}{bx_1 -ay_1}\right|}$
$\displaystyle{=\frac{1}{2}\left|\frac{2a^3 b^3}{b^2 x_1^2 -a^2 y_1^2}\right|}$
$\therefore S=ab$
$\blacksquare$
- 두 초점에서 임의의 접선까지 거리의 곱은 일정하다.
위에서 초점 $F_2$에서 접선에 내린 수선의 발은 주축을 지름으로 하는 원 d 위에 있음을 보였다.
점 $A$를 지나고 직선 $F_1 P$와 평행인 직선이 원 d 와 만나는 점을 $D$라고 하자.
$$\overline{CF_2}//\overline{F_1D}$$
직선 $F_1 D$가 원 d와 만나는 점을 $B$라고 하자.
점 $B$는 점 $F_1$에서 접선 위에 내린 수선의 발이다.
따라서 두 초점에서 접선에 내린 수선의 길이를 곱한 값은 $F_1$에서 원 d에 그은 접선의 길이 $T$의 제곱과 같다.
$$T^2 =c^2 -a^2=b^2$$
$\blacksquare$
아래 그림은 원뿔 곡선이 가지고 있는 성질을 활용하며 만든 카세크레인 방식 망원경의 원리를 보여주는 그림이다. 카세크레인 방식으로 만들면 망원경의 경통 길이를 크게 줄일 수 있다.
