원뿔 곡선 작도하기

요즘 2차 곡선으로 부르는 곡선은 원뿔을 자른 단면이라서 원뿔 곡선으로 불러졌다. 알면 알 수록 아름다운 원뿔 곡선을 작도해 보자. 작도하는 법은 원뿔 곡선이 가지고 있는 많은 성질을 증명할 때 큰 도움을 준다.

원

정의: 한 정점에 이르는 거리가 같은 점의 자취

그냥 컴퍼스로 그리면 된다.

포물선

정의: 한 정직선과 정점에 이르는 거리가 같은 점의 자취

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한 직선과 한 점 $F$가 주어졌다고 하자.

1. 직선 위에 있는 점 $A$와 $F$를 잇는 선분 $AF$의 수직이등분선을 작도한다.
2. 점 $A$를 지나고 주어진 직선과 수직인 직선이 위에서 작도한 직선과 만나는 점을 $P$라 하자.

 

 

점 $P$는 선분 $AF$의 수직이등분선 위에 있으므로

$$\overline{PA}=\overline{PF}$$

따라서 점 $P$는 포물선 위에 있는 점이다.

타원

정의: 두 정점에 이르는 거리의 합이 일정한 점의 자취

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두 정점 $F_1$과 $F_2$가 주어졌다고 하자.

1. 점 $F_1$을 중심으로 점 $F_2$가 원 안에 있도록 적당한 원 $c$를 작도한다.
2. 원 위에 있는 점 $A$라고 하자.
3. 원 안에 있는 점 $F_2$와 점 $A$를 잇는 선분의 수직 이등분선을 작도한다.
4. 직선 $F_1A$와 수직 이등분선이 만나는 점 $P$를 찾는다.

원 $c$의 반지름을 $R$이라고 하자. 점 $P$는 수직이등분선 위에 있는 점이므로

$$\overline{PA}=\overline{PF_2}$$ 이다.

$$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\overline{PF_1}+\overline{PA}=R$$

그러므로 점 $P$는 타원 위에 있는 점이다.

 

쌍곡선

정의: 두 정점에 이르는 거리의 차가 일정한 점의 자취

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두 정점 $F_1$과 $F_2$가 주어졌다고 하자.

1. 중심이 $F_1$이고 점 $F_2$가 원 밖에 있도록 적당한 원 $c$를 작도한다.
2. 원 위에 있는 점 $A$라고 하자.
3. 원 밖에 있는 점 $F_2$와 점 $A$를 잇는 선분의 수직 이등분선을 작도한다.
4. 직선 $F_1A$와 수직 이등분선이 만나는 점 $P$를 찾는다.

 

원 $c$의 반지름을 $R$이라고 하자. 점 $P$는 수직 이등분선 위에 있는 점이므로

$$\overline{PA}=\overline{PF_2}$$ 이다.

$$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=|\overline{PF_1}-\overline{PA}|=R$$

그러므로 점 $P$는 쌍곡선 위에 있는 점이다.