미적분이 없는 세상은 슬픔 아니면 기쁨?

구적법은 영어로 quadrature이다. 아르키메데스는 소진법(exhaustion)으로 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구했다. 요즘이야 고등학교에서 배우는 미적분으로도 아주 간단하게 구할 수 있다. 아르키메데스는 어떻게 했을까? 좌표도 미적분도 없이 포물선과 직선 사이의 넓이를 구하는 일은 생각보다 쉽지 않지만 미적분과 다른 또 다른 재미가 있다. 좌표가 얼마나 고마운 도구인가 새삼스레 깨달을 수 있다.

온통 미적분으로 가득찬 현대 수학이 지루해진 사람을 위해 그리스 기하학이 품고 있는 즐거움을 보여주고 싶은 마음으로 위해 정리해 둔다. 엔틱이 유행이니 고전 가운데 고전인 그리스 기하학을 잠깐 구경해 보자.

구적법이란?

구적법(quadrature)은 주어진 도형과 넓이가 같은 정사각형을 찾는 일이다. 사각을 뜻하는 말(quad)이 붙은 까닭이다. 모든 시작엔 먼저 1이 있어야 한다. 한 변이 1인 정사각형 넓이가 1이다. 그러니 넓이를 구하려면 도형에 넓이 1인 정사각형이 얼마나 들어가는가를 찾아야 한다. 그래서 그리스 수학자들은 주어진 도형과 같은 넓이를 가지는 사각형을 찾기 위해 애썼다. 그것도 눈금 없는 자와 컴퍼스만 가지고 찾는 걸 즐겼다. 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 원의 구적법(quadrature of circle)을 찾는 일은 실패했지만 도전을 멈추지 않은 히포크라테스는 조각달 모양, 아르키메데스는 포물선 단면의 넓이를 찾았다.

1. 길이가 $a$, $b$인 직사각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도할 수 있는가? 주어진 길이가 $a,b$일 때, $\sqrt{ab}$를 자와 컴퍼스만으로 만들 수 있는가? 잠깐만 생각하면 찾을 수 있을 것이다.

히포크라테스의 조각달

아르키메데스의 포물선 구적

정의 포물선 단면(parabolic segment) 그림과 같이 포물선을 자르는 선분 $AB$와 잘린 포물선으로 둘러싸인 도형이다. 이때, 선분 $AB$와 가장 멀리 떨어진 점 $P$를 꼭짓점(Vertex)이라 한다. 선분 $AB$는 밑변, 꼭짓점까지 거리는 높이라 하자.

아르키메데스 시대에 임의의 포물선 단면에서 성립하는 아래 기본 정리는 알려져 있었다. 증명은 연결고리를 따라 앞선 글을 참고하라.

P1. 꼭짓점 $p$에서 접선은 밑변 $AB$와 평행하다.

P2. $P$를 지나고 대칭축과 평행한 직선은 선분 $AB$를 이등분한다.

P3. 직선 $PM$은 $AB$와 평행한 모든 현 $FG$를 이등분한다.

P4. 그림에서 $\displaystyle{\frac{PE}{PM}=\frac{EG^2}{MB^2}}$이 성립한다.

 

소진법(method of exhaustion)

아르키메데스는 포물선 단면에서 아래와 같이 다각형 $A_0, A_1 , A_2 , \cdots$를 차례대로 없애나가서 넓이를 구하는 소진법을 고안했다.

아르키메데스 정리
포물선 단면(parabolic segment)의 넓이는 밑변과 꼭짓점을 공유하는 삼각형 넓이의 $4/3$이다.

포물선 단면은 넓이를 $S$로 다각형 $A_n$의 넓이를 $A_n$이라 하자.

$$M_n = S-A_n$$

$P$를 지나는 접선과 $A,B$를 지나는 축과 평행한 직선이 만나는 점을 $CD$라 하자. 평행사변형 $ABCD$은 포물선 단면보다 넓이가 크다.

$$M_0< \frac{1}{2} S$$

$A_1$은 $A_0$에 $\triangle APP_1, \triangle APP_2$의 넓이를 더한 값이다.

$$M_1 < \frac{1}{2} M_0$$

마찬가지로 생각하면

$$M_2 < \frac{1}{2} M_1,\quad M_3 < \frac{1}{2} M_2 \quad \cdots$$

$$M_n < \frac{1}{2} M_{n-1}$$

$$\therefore \lim_{n\to \infty}M_n =0$$

$n$ 단계에서 더해지는 삼각형 넓이를 더한 값을 $a_n$이라 하자.

$$a_0= \triangle APB$$

$$a_1=\triangle APP_1+\triangle APP_2$$

$$A_n =a_0 +a_1 +a_2 + \cdots +a_n\tag{1}$$

P4에 따라서 $$\frac{PE}{PM}=\frac{EP_1 ^2}{MB^2}=\frac{1}{4}$$

$$PM=4PE \Rightarrow P_1N=3PE$$

$$NF=\frac{1}{2}MP=2PE=2FP_1\tag{2}$$

$\triangle PBN$과 $\triangle PBP_1$은 밑변 $PB$가 공통이고 높이는 (2)에 따라 2:1이다.

$$\triangle PBN=2\triangle PBP_1$$

$$\triangle PMB=2\triangle PBN = 4 \triangle PBP_1$$

마찬가지로

$$\triangle PMA= 4 \triangle PAP_2$$

$$ \triangle PBP_1+ \triangle PAP_2 = \frac{1}{4}\triangle PMB + \frac{1}{4}\triangle PMA = \frac{1}{4} \triangle PAB $$

정리하면 $\displaystyle{a_1 =\frac{1}{4} a_0}$이고 귀납적으로 생각하면

$$a_n= \frac{1}{4} a_{n-1}= \frac{1}{4^n} a_0$$

이다. (2)에 대입하여 정리하면 아래와 같다.

$$A_n= a_0 + \frac{1}{4} a_0 + \frac{1}{4^2} a_0 +\cdots + \frac{1}{4^n} a_0=a_0 \left( 1+ \frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+ \frac{1}{4^n}\right)$$

아르키메데스는 어떻게 무한급수의 합을 구했을까? 그는 아래와 같은 항등식에서 시작했다.

$$\frac{1}{4^k} + \frac{1}{3} \frac{1}{4^k}= \frac{4}{3 \cdot 4^k}= \frac{1}{3} \frac{1}{4^{n-1}}\tag{3}$$

$$\begin{split} 1+ \frac{1}{4}&+\frac{1}{4^2}+\cdots+ \frac{1}{4^n}+\frac{1}{3}\frac{1}{4^n} \\& =1+ \frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+ \left(\frac{1}{4^n}+\frac{1}{3}\frac{1}{4^n}\right)\\ &=1+ \frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+ \left(\frac{1}{4^{n-1}}+\frac{1}{3}\frac{1}{4^{n-1}}\right)\\ &=\cdots \\ &=1+\left( \frac{1}{4}+ \frac{1}{3}\frac{1}{4} \right) \\&=1+\frac{1}{3} =\frac{4}{3}\end{split}$$

$$\begin{split} S& = a_0 \lim_{n\to \infty}\left( 1+ \frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+ \frac{1}{4^n}\right)\\& = a_0 \lim_{n\to \infty} \left( \frac{4}{3}- \frac{1}{3}\frac{1}{4^n} \right) \\& =a_0 \cdot \frac{4}{3} \\& =\frac{4}{3}\triangle PAB \end{split}$$

$\blacksquare$

오늘날처럼 정교하지는 않지만 아르키메데스는 극한에 대한 명확한 개념을 가지고 있었다. 그는 아래와 같다면 모순이 있음을 보였다.

$$S< \frac{4}{3}\triangle PAB,\quad \quad S>\frac{4}{3}\triangle PAB $$

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아르키메데스와 포물선