2021학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리가형 30번

30.

다음 조건을 만족시키는 실수 $a,b$에 대하여 $ab$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자.

모든 실수 $x$에 대하여 부등식

$$-e^{-x+1}\leq ax +b\leq e^{x-2}$$

이 성립한다.

$\displaystyle{|M\times m^3 |=\frac{q}{p}}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)[4점]

풀이)

부등식을 좌표평면에 나타내 보자. 

모든 실수 $x$에 대하여 직선 $y=ax+b$가 두 곡선 $y=e^{x-2}$와 $y=-e^{-x+1}$ 사이에 있어야 됨을 뜻한다. 두 곡선 모두 $y=0$이 점근선이므로 $a\geq$임은 쉽게 알 수 있다.

곡선과 관련된 문제에서 극값을 가질 때는 주로 접할 때가 된다. 이 문제도 당연히 접선과 연관 지어서 생각하자. 

먼저 최솟값은 기울기인 $a$는 크고 $y$절편인 $b$가 음수일 때가 될 것이다. 따라서 직선이 아래 그림과 같이 두 곡선에 접하게 될 것이다.

점 $(t,e^{t-2})$에서 접선의 방정식은 $y-e^{r-2}=e^{t-2}(x-t)$이므로

$$y=e^{t-2}x+(1-t)e^{t-2}.\tag{1}$$

점 $(s,-e^{-s+1})$에서 접선의 방정식은 $y+e^{-s+1}=e^{-s+1}(x-s)$이므로

$$y=e^{-s+1}x-(1+s)e^{-s+1}.\tag{2}$$

(1)과 (2)가 같아지도록 하는 $s,t$를 구하자.

기울기가 같으므로 $e^{t-2}=e^{-s+1}$이므로 $t+s=3$이다.

$y$절편도 같으므로 $(1-t)e^{t-2}=(-1-s)e^{-s+1}$이므로 $t-s=2$이다.

연립하여 풀면 $\displaystyle{t=\frac{5}{2},\;\; s=\frac{1}{2}}$이다.

$\displaystyle{a=e^{1/2},\;\;b=-\frac{3}{2}e^{1/2}}$이므로 최솟값은

$$m=-\frac{3}{2}e\tag{3}$$

이제 최댓값을 구하자.

먼저 최댓값을 가질 때, $ab$가 양수이어야 하므로 위에 있는 곡선 $y=e^{x-2}$의 접선이다.

(1)에서 $ab=e^{t-2}\times e^{t-2}(1-t)$이다. 

$$f(t)=(1-t)e^{2t-4}$$

로 놓고 최댓값을 구하자.

$$f^{\prime}=e^{2x-4}(1-2t)=0$$에서 $t=1/2$일 때 최댓값을 가진다.

$$M=\frac{1}{2}e^{-3}\tag{4}$$

마지막으로 (3), (4)에서

$$|M\times m^3|=\bigg|\frac{1}{2}e^{-3}\times\bigg(-\frac{3e}{2}\bigg)^3\bigg|=\frac{27}{16}$$

$$\therefore\;\;p+q=43$$

$\blacksquare$

예상한 대로 기하와 벡터가 빠지면서 이제 미적분 문제가 30번 자리를 차지했다. 문제 내는 사람은 쉽게 낸다고 하지만 푸는 이에겐 여전히 쉽지 않다. 확률과 통계 문제가 늘어난 점이 눈에 띈다. 수학능력시험도 이와 같다면 그래도 지난해보다 올해가 쉽다는 평가를 받을 것으로 보인다.