숨어 있는 함수

수학은 관계를 따지는 학문이다. 현대 수학에서 관계는 주로 함수로 나타낸다. 따라서 수학 공부에서 함수를 파악하는 일이 매우 중요하다. 함수는 변수 $x$에 변수 $y$가 하나씩만 결정되는 관계이다. 이때 변수 $y$를 종속변수 변수 $x$를 독립변수라 부른다. 더 자세한 내용은 함수의 정의를 참고하자.

함수는 대체로 $y=f(x)$와 같이 변수 $y$를 변수 $x$로만 이루어진 식으로 정리한다. 구별을 위해 관계가 밖으로 드러난 함수를 양함수(explicit funtion)라 한다. 이와 달리 아래와 같이 두 변수 $x$와 $y$사이의 관계가 $f(x,y)=0$처럼 방정식으로 주어진 상황이 많다. 참고 식물 잎처럼 생긴 아래 곡선 이름은 데카르트 잎선(folium of Descartes)이다.

$$x^3 +y^3 -9xy=0$$

이렇게 방정식으로 주어졌을 때, 두 변수 $x$와 $y$사이의 관계가 안에 숨어 있다. 위에 있는 관계는 $x_0$에 $y$가 셋이나 정해지므로 함수는 아니다. 그러나 그림과 같이 호를 알맞게 자르면 함수인 $y=f_1(x), y=f_2(x),y=f_3(x)$로 나누어 생각할 수 있다. 이렇게 안에 숨어 있는 함수를 음함수(implicit function)라 부른다. 이 방정식은 음함수 방정식으로 부른다. 미분에서 곡선의 방정식에 숨어 있는 함수를 쉽게 찾을 수 없을 때, 방정식을 그대로 두고 $y$를 $x$의 함수로 보고 미분하는 것을 음함수 미분(implicit differentiation)으로 부른다.   

위에 주어진 곡선의 방정식을 변수 $x$에 대하여 미분하자.

$$\begin{split} \frac{d}{dx}(x^3+y^3 - 9xy)&=0\\ 3x^2+3y^2 \frac{dy}{dx}-9y-9x \frac{dy}{dx}&=0\\ x^2+y^2 \frac{dy}{dx}-3y-3x \frac{dy}{dx}&=0\\ \bigg(y^2 -3x\bigg) \frac{dy}{dx}+x^2-3y&=0\\ \bigg(y^2 -3x\bigg) \frac{dy}{dx}&=3y-x^2\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{3y-x^2}{y^2 -3x}\end{split}$$

세 함수 $y=f_1(x), y=f_2(x),y=f_3(x)$는 같은 식에서 얻어졌으므로 당연히 미분계수도 같은 식에서 얻어진다고 생각하면 음함수 미분법을 쉽게 이해할 수 있다. 

위에 주어진 곡선을 다시 시각 $t$에 따라 위치 $(x,y)$가 결정된다고 생각해 보자. $x=x(t), y=y(t)$처럼 생각하면 관계 $\mathbf{r}=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}$는 함수의 정의에 꼭 들어 맞는다. 이런 함수를 벡터 함수라 한다. 이렇게 얻은 함숫값 $(x(t),y(t))$에 따라 ${dy}/{dx}$가 결정된다. 이 관계도 함수다. 

$$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(x(t),y(t))}=\frac{3y(t)-x(t)^2}{y(t)^2 -3x(t)}$$

식으로 정리하면 $z=\frac{dy}{dx}\bigg|_{(x,y)}$와 벡터함수 $t\rightarrow (x(t), y(t))$를 합성한 함수로 생각할 수 있다. 이제 독립변수가 여럿인 함수를 공부해야 한다. 이때 함수 $z=\frac{dy}{dx}\bigg|_{(x,y)}$는 독립변수가 2개인 이변수 함수라 부른다. 

2변수 함수는 $z=f(x,y)$와 같이 표현한다.

$k$가 상수라면 도형의 방정식 $f(x,y)=k$는 2변수 함수는 $z=f(x,y)$의 $k$-등위곡선이라 생각하면 된다. 정리하면 도형의 방정식은 변수가 하나인 함수를 음함수 방정식으로 표현했다고 생각해도 되고 변수가 2개인 함수의 등위곡선으로 생각해도 된다.

2변수 함수 $z=f(x,y)$도 $f(x,y)-z=0$와 같이 정리하면 음함수 방정식꼴이 된다. 곡면을 나타내는 방정식 $F(x,y,z)=0$는 2변수 함수를 음함수 방정식 꼴로 표현했다고 생각할 수도 있고 3변수 함수 $w=F(x,y,z)$의 등위곡면으로 생각해도 된다.