2021학년도 대수능 9월 모의평가 수리가형 28번

28.

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 $AB$를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $AB$의 중점을 $O$라 할 때, 호 $AB$ 위의 두 점 $P,\;\;Q$를 $\angle POA=\theta$, $\angle QOB=2 \theta$가 되도록 잡는다. 두 선분 $PB,\;\;OQ$의 교점을 $R$라 하고, 점 $R$에서 선분 $PQ$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 삼각형 $POR$의 넓이를 $f(\theta)$, 두 선분 $RQ$, $RB$와 호 $QB$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(\theta)$라 할 때,

$\displaystyle{\lim_{\theta\rightarrow 0+}\frac{f(\theta)+g(\theta)}{\overline{RH}}=\frac{q}{p}}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle{0<\theta<\frac{\pi}{3}}$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)[4점]

풀이) 원과 관련된 문제는 당연히 삼각형과 삼각함수를 생각해야 한다. 삼각함수는 원함수로도 부른다. 각과 관계있는 극한 문제이므로 당연히 아래와 같은 삼각함수의 극한을 생각해야 한다.

$$\lim_{\theta\rightarrow0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$$

따라서 주어진 극한을 구할 때 아마도 아래와 같은 극한을 구해야 할 것이다.

$$\lim_{\theta\rightarrow0+}\frac{\overline{RH}}{\theta},\quad \lim_{\theta\rightarrow0+}\frac{f(\theta)}{\theta},\quad \lim_{\theta\rightarrow0+}\frac{g(\theta)}{\theta}$$

삼각형은 두 변과 사이에 끼인 각을 알면 모든 걸 알게 된다. 중학교에서 배운 외각과 내각 사이의 관계를 쓰면 아래와 같음을 쉽게 알 수 있다.

$$\angle OPB=\angle OBP = \frac{\theta}{2},\;\;\angle OPQ=\angle OQP = \frac{3\theta}{2}\tag{1}$$

$$\angle PRO= \frac{5\theta}{2},\;\;\angle POQ=\pi-3\theta\tag{2}$$

이제 선분 $PR$의 길이만 구한다면 모든 것이 해결됨을 알 수 있다. 삼각형 $POQ$에서 사인정리를 쓰기로 하자.

$$\begin{split}\frac{\overline{PR}}{\sin (\angle POQ) }&=& \frac{ \overline{OP} }{\sin (\angle PRO)}\\\frac{\overline{PR}}{\sin (\pi-3\theta)}&=&\frac{1}{\sin (\frac{5\theta}{2})}\\\overline{PR}=\frac{\sin (\pi-3\theta)}{\sin (\frac{5\theta}{2})}&=&\frac{\sin 3\theta}{\sin (\frac{5\theta}{2})}\end{split}$$

다른 변의 길이도 구해보자.

$$\overline{RH}=\overline{PR} \sin (\angle RPH) = \frac{\sin 3\theta \sin \theta}{\sin (\frac{5\theta}{2})}$$

미리 극한값을 구해두자.

$$\therefore \;\;\lim_{\theta\rightarrow0+}\frac{\overline{RH}}{\theta}= \lim_{\theta\rightarrow0+} \frac{\sin 3\theta \sin \theta}{\sin (\frac{5\theta}{2})\theta} = \frac{6}{5}$$

$$f(\theta)=\frac{1}{2} \times \overline{PR}\times \overline{OP}\times \sin (\angle OPR) = \frac{1}{2} \times \frac{\sin 3\theta}{\sin (\frac{5\theta}{2})} \times 1\times \sin \frac{\theta}{2}\tag{3}$$

마찬가지로 마지막 계산을 위해 극한값을 구해두자.

$$\therefore\;\;\lim_{\theta\rightarrow0+}\frac{f(\theta)}{\theta}=\lim_{\theta\rightarrow0+} \bigg[\frac{1}{2} \times \frac{\sin 3\theta}{\sin (\frac{5\theta}{2})} \times 1\times \sin \frac{\theta}{2}\times\frac{1}{\theta}\bigg]=\frac{3}{10}$$

$$\triangle ORB= \triangle OPB-f(\theta)=\frac{1}{2}\sin\theta -f(\theta)$$

부채꼴 $OBQ$ 넓이에서 삼각형 $ORB$ 넓이를 빼면

$$g(\theta)= \frac{1}{2}\cdot 1^2 \cdot 2\theta-\frac{1}{2}\sin\theta +f(\theta)\tag{4}$$

(3), (4)에서 

$$f(\theta)+g(\theta)=\theta -\frac{1}{2}\sin\theta +2f(\theta)$$

모든 것을 $\theta$의 함수로 바꾸었으니 이제 마무리만 남았다. 입력하기 힘들어서 여기까지만 쓴다. 공통된 변이 있으므로 변의 길이의 함수로 나타낸 다음 정리를 해서 풀면 더 깔끔하게 될 듯도 한데 귀찮다.

아 답은 $\displaystyle{\frac{11}{12}}$이다.