변수란 무엇인가?

수학책에서 자주 만나는 용어인 '변수'를 정리해 둔다. 맨 아래에 연결한 위키백과를 참고하여 정리한 글이다. 중학교와 고등학교 수준에서 이해할 수 있도록 쓰려고 했으나 일부분은 조금 벗어난 감이 있다. 결론부터 미리 정리하자면 문자는 모두 변수이고 변수가 하는 역할에 따라 여러 가지 다른 이름으로 불린다는 것이다.

정의

변수는 다양한 값이나 양을 넣을 수 있는 빈자리를 나타내는 기호이다. 종종 주어진 집합에 있는 임의의 원소를 나타낼 때 쓴다. 변수는 수뿐만 아니라  벡터, 행렬과 함수를 나타낼 때도 쓴다. 

말뿌리

"Variable" 은 라틴어 variābilis에서 왔다. "vari(us)"'는 "다양한 various"이고 "-ābilis"'는 "가능한 -able"이므로 "여러 값을 가질 수 있는"을 뜻한다.

시작과 발전

7세기, 브라마굽타는 저서 Brāhmasphuṭasiddhānta에 있는 "몇몇 색깔의 방정식" 부분에서 대수 방정식에 있는 미지수를 다른 색을 써서 구분하였다. 16세기 말, 비에테는 방정식에서 알려진 수는 자음으로 알려지지 않은 수는 모음으로 나타냈다. 1637, 데카르트는 방정식에서 미지수는 x, y, z로 쓰고 알려진 수는 a, b, c로 나타냈다. 

1660년대부터 뉴턴과 라이프니츠는 무한소를 이용한 미적분을 개발했는데, 이들이 개발한 미적분은 무한히 작아지는 변량과 이 변량에 따라 달라지는 또 다른 변량 사이의 함수 관계를 연구하는 것이다. 거의 100년 후 오일러는 극소 미적분학의 용어를 새롭게 정리하고 함수 $f$, 변수 $x$, $y$에 대한 표기법 $y = f (x)$를 도입했다. 19세기 말까지 변수는 주로 독립변수와 함숫값을 다룰 때 쓰였다.

변수의 갈래

흔히 알려진 수는 상수로 알려지지 않은 미지수는 변수로 생각한다. 하지만 정확하게는 방정식에 들어 있는 문자는 모두 변수이다. 이들이 하는 역할이 다르므로 구별하는 다른 이름으로 부른다.

보기를 들면 삼차방정식

$$\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$

에는 모두 다섯 개의 변수가 있다. $a,b,c,d$는 정해진 숫자를 나타내고 $x$는 정해지지 않은 수를 나타낸다. 이들을 구별하기 위해 $x$는 미지수(unknown number)로 나머지는 매개변수(parameters) 또는 계수(coefficients)로 때로는 상수(constants)로 부른다. 마지막 상수로 부르는 것은 엄밀하게 따지면 정확하지 않은 표현이다. 

2차 방정식

$$ax^2 +bx+c=0$$

에서 $a, b, c$는 상수로 $x$는 변수로 생각하는 것이 보통이다. 하지만 근을 구하는 공식을 적는다면

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$$

변수 $a, b, c$에 따라 변수 $x$가 정해진다고 생각할 수 있다.

수학책에서 괄호 안에 (단, $a$는 0이 아닌 상수)처럼 어떤 문자가 상수임을 밝혀 적는 까닭이다.

함수를 나타내는 문장에서 "실수인 변수의 함수", "$x$는 함수 $f: x↦ f(x)$의 변수", "함수 $f$는 변수 $x$의 함수이다."와 같이 변수는 함수의 인수(argument)를 언급할 때 쓴다. (함수 $f$는 $x$에 따라 정해진다는 뜻이다.)

$$\int 3x^2 dx=x^3 +C$$

위에서 $C$는 적분 변수 $x$와 상관없다. 이때 그냥 '적분 상수'로 부른다. 엄밀하게 말하면 '변수 $x$에 대하여 상수 함수'라고 말해야 한다. 이와 같이 상수 함수를 나타내는 문자를 줄여서 '상수(constant)'로 부를 때는 $C$는 상수와 같이 옆에 밝혀 적는다. 

'상수'라는 용어는 종종 다항식에서 상수 함수로 결정된 계수를 나타낼 때도 사용한다. 부르는 이름은 같아도 '상수 함수'를 줄여서 '상수'로 부를 때와 수학적 상수 $0,1,\pi$나 군의 항등원과 같이 단 하나의 수를 부를 때를 구별해야 한다.

변수는 아래와 같이 쓰인다;

• 방정식을 풀어서 알아내야 하는 미지수
• 다항식이나 거듭제곱 급수에서 정해지지 않은 계수를 나타내는 기호. 엄밀하게 다항 환(ring)이나 거듭제곱 환(ring)에서 미정 계수는 변수가 아닌 상수이지만 보통 특별한 역할을 하는 변수로 다룬다. 
• 전제 문제에서는 상수이지만 문제풀이 과정에서 입력값이 되는 양을 나타내는 매개변수. 운동을 기술한 공식에서 물체의 질량이나 크기를 나타내는 매개변수, 컴퓨터 프로그래밍에서 쓰는 변수가 대표적인 예이다. 
• 실수 전체나 유계 된 범위에 있는 변수
• 확률론에서 쓰는 확률변수

변수를 부르는 이름은 뜻에 따라 조금씩 다르지만 똑같은 방식으로 다루어진다.

종속변수와 독립변수

미적분과 물리학에서 변수 $x$에 따라서 결정되는 변수 $y$를 구별할 때 독립변수와 종속변수로 부른다. 수학에서 $y$가 $x$에 종속되어 있다면 $y$는 $x$의 함수라고 한다. $z=f(x, y)$로 표현했다면 $x, y$는 독립변수이고 $z$는 종속변수이다.

보기

실수 집합에서 실수 집합으로의 함수 $f: \mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}$

$$\displaystyle f(x)=x^{2}+\sin(x+4)$$

$x$는 함수를 결정하는 인수인 독립변수이다.

항등식

$$\displaystyle {\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n^{2}+n}{2}}}$$

자연수의 합을 구하는 공식에서 변수 $i$는 자연수 $1, 2, \cdots, n$ 가 들어갈 수 있고 변수 $n$은 정해지면 변하지 않는 매개변수이다. 

표기

대체로 변수는 문자 하나로 나타내지만 때로는 첨자를 넣어서 $x_1 ,x_2,\cdots$로 쓰기도 하고 여러 개의 문자로 나타내기도 한다. 위에서 말했던 대로 17세기 데카르트는 알파벳 앞에 있는 문자 $a,b, c $는 알고 있는 수를 뒤에 있는 문자 $x,y, z,t$는 미지수를 나타내는 데 사용했다. 인쇄할 때는 이탤릭체로 표현한다

$$\displaystyle {ax^{2}+bx+c}$$

$a, b, c$ 는 매개변수 (또는 $x$와 상관없이 결정되는 상수 함수이므로 상수로도 부른다.) $x$는 변수로 부른다. 이것이 더 잘 드러나는 표현은 아래와 같다.

$$\displaystyle{ x\mapsto ax^{2}+bx+c}$$

특정 갈래나 응용 프로그램에서는 특별한 규칙에 변수 이름을 붙인다. 비슷한 역할이나 의미를 가진 변수는 연속된 문자로 나타낸다. 보기를 들면, 3차원 공간을 나누는 좌표축은 $x,y,z$ 축으로 부른다. 물리학에서는 물리량에 따라 변수 이름이 정해지는 다양한 규칙이 존재한다. 확률과 통계에서 확률변수는 대문자로 $X,Y,Z$ 쓰고 실제 값은 소문자로 쓴다. (예 $X=x_1$)

일반적인 용도는 아래와 같다.

• a, b, c, d (때로는 e와 f): 매개변수(parameter) 또는 계수(coefficients).
• $a_0, a_1, a_2,\cdots$: 비슷한 일을 하는 변수가 많아서 너무 많은 문자가 필요할 때.
• $a_i$ or $u_i$: 수열(sequence)의 $i$번 째 항 또는 급수(series)의 $i$번 째 계수.
• f , g ,h: 함수(functions).
• i, j, k (때로는 l 또는 h) 정수(integers) 또는 indexed family. 단위 벡터(unit vectors).
• l 와w : 도형의 길이와 폭.
• l :직선. 정수론에선 l 은 p와 같지 않은 소수.
• n :숫자를 세는 고정된 정수 또는 방정식(equation)의 차수.
  • 행렬(matrix)의 차원을 나타낼 때 m 과 n을 같이 씀.
• p :소수(prime numbers) 또는 확률(probability).
• q : 소수(prime power) 또는 몫(quotient).
• r : 반지름(radius), 나머지(remainder) 또는 correlation coefficient.
• t : 시간(time).
• x, y , z : 데카르트 좌표(Cartesian coordinates) 유클리드 공간(Euclidean geometry)에 있는 점의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)와 축의 이름 
• z : 복소수(complex number), 통계에서 정규 확률변수(normal random variable).
• α, β, γ, θ , φ : 각(angle)의 크기.
• ε:  임의의 작은 양수.
  • ε 와 δ 는 작은 양수를 나타낼 때 같이 씀.
• λ : 고윳값(eigenvalues).
• σ : 합이나 통계에선 표준편차(standard deviation).

문제

주어진 곡선 모임에 수직인 궤적(orthogonal trajectory)을 구하여라.

    *orthogonal trajectory: 주어진 곡선 모임과 만나는 점에서 접선이 서로 수직인 곡선 모임

1. $y=mx$

먼저 주어진 곡선의 접선의 기울기는 $\displaystyle{\frac{dy}{dx}=m=\frac{y}{x}}$이므로 수직인 궤적의 접선의 기울기는  $\displaystyle{\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}}$이다. 이 미분방정식은 변수분리형이므로 아래와 같이 풀면 된다.

$$ydy=-xdx\quad\Rightarrow \quad \frac{1}{2}y^2=-\frac{1}{2}x^2 +c\quad \Rightarrow\quad x^2 +y^2 =2c$$

따라서 수직인 궤적은 $x^2 +y^2 =C$이다.

매개변수인 $m$을 단순한 상수로 생각해서 $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{m}\quad \Rightarrow \quad y=-\frac{1}{m}x+C$$와 같이 풀면 안 된다.

2. $kx^2 +y^2 =1$

$$\begin{split}2kx+2y\frac{dy}{dx}&=0\\\frac{dy}{dx}&=-\frac{kx}{y}\\\frac{dy}{dx}&=-\frac{1-y^2}{yx}\end{split}$$

$$\begin{split}\frac{dy}{dx}&=\frac{yx}{1-y^2}\\\bigg(\frac{1}{y}-y\bigg)dy&=xdx\\\ln|y|-\frac{1}{2}y^2&=\frac{1}{2}+C\end{split}$$

en.wikipedia.org/wiki/Variable_(mathematics)

Variable (mathematics) - Wikipedia