중3 곱셈 공식과 인수분해 공식

곱셈이란 무엇인가? 곱셈을 여러 가지로 해석할 수 있다. 초등학교 2학년 수준에서는 아래처럼 덧셈을 간단하게 한 것으로 보면 된다.

$$2+2+2+2+2=2\times 5 =5+5$$

이렇게 해석하면 $3a+5a=(3+5)a=8a$와 같은 결합 법칙을 아주 쉽게 이해할 수 있다. 하지만 수학이 여기서 끝나지 않는다. 초등학교 고학년이 되면 분수가 나온다.

$$\frac{3}{4}\times 3=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}$$

위와 같이 3/4를 세 번 더한 것으로 이해할 수 있지만 분수끼리 곱하는 것은 덧셈으로 해석하기에 복잡하다.

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$$

따라서 학년이 올라가면 곱셈은 넓이로 해석하는 것이 좋다. 다시 말해서 곱셈을 직사각형의 넓이를 구하는 것으로 생각하는 것이다. 중학교에선 초등학교와 달리 수를 대신하는 문자를 쓰기 때문에 많은 학생들이 제대로 이해하지 못하고 수학을 포기하고 만다. 안타까운 일이다. 

곱셈 공식

이제 곱셈 공식을 만들어 보자. 아래 그림에서 전체 직사각형 넓이는 점선으로 나뉜 직사각형 넓이를 더한 것과 같다.

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

곱셈을 매번 넓이로 해석하는 것은 번거롭다. 이런 번거로움을 줄여 주는 법칙이 대수 법칙이다. 교환 법칙, 결합 법칙, 분배 법칙을 배웠다. 위에 있는 곱셈을 대수 법칙으로 해석하면 아래와 같이 분배법칙을 두 번 쓰면 된다. $c+d=M$이라고 하자.

$$\begin{split}(a+b)(c+d)&=(a+b)M\\&=aM+bM\\&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd\end{split}$$

모든 곱셈 공식은 위에 있는 식으로 만들 수 있다. 문자로 이루어진 식은 동류항을 계산하여 간단하게 적기 때문에 모양이 조금씩 다르게 보일 뿐이다.

$$(a+b)^2 =(a+b)(a+b)=a^2 +ab +ba+b^2=a^2 +2ab+b^2$$

아래는 대수 막대로 곱셈 공식을 가르치려고 만든 그림이다.

$$(x+3)(x+2)=x(x+2)+3(x+2)=x^2 +2x +3x +6=x^2 +5x+6$$

결과만 적어보면 아래와 같다.

$$(x+3)(x+2)=x^2 +5x+6$$

어찌 보면 단순해도 너무나도 단순한 작업인데 생각보다 어려워 하는 학생이 많다. 왼쪽을 오른쪽으로 만드는 것을 '전개'라고 하고 오른쪽을 왼쪽으로 만드는 것을 '인수분해'라고 한다. 그나마 전개는 하지만 인수분해는 하지 못하는 학생이 많다. 인수분해를 하지 못하면 앞으로 수포자가 되는 일만 남는다. 곱셈 공식을 단순 암기하지 말고 지루해도 상당한 연습을 거듭해야 하는 까닭이다. 또한 곱셈 공식을 만들면서 앞으로 하게 될 인수분해까지 미리 생각하면 더욱 좋을 것이다. 앞으로 나오는 모든 공식을 넓이로 해석해 보는 것도 매우 좋은 공부다.

$$(2x+y)(x+y)=2x^2 +3xy+y^2$$