중학교에서 함수를 어떻게 가르칠까?

수학 공부에 필요한 정의와 개념을 쉬운 말로 풀어서 설명하기 어려울 때가 많다. 너무 쉽게 말하다 보면 중요한 의미를 놓치거나 잘못된 개념을 만들까 두렵다. 명확하고 엄밀하게 말하다 보면 학생이 이해하기 어렵게 만들고 말 때가 있다. 함수는 현대 수학에 꼭 필요한 중요한 개념이다. 알고 있는 이에겐 쉽게 느껴지지만 처음 접하는 이에겐 상당히 어렵게 느껴지기도 한다. 중학교 2학년에서 처음으로 '함수'를 만나는 학생을 위해 도움이 되었으면 좋겠다.

함수를 가르치면서 자판기를 예로 들기도 한다. '픽사베이'에서 자판기를 찾았더니 일본 음료 사진이 있다. 아래와 같은 자판기는 우리나라에도 많다. 먼저 돈을 넣고 단추를 누른다. 

픽사베이 이미지

돈을 충분히 넣었고 품절된 상품은 없다고 가정하자. 우리가 자판기 단추를 눌렀을 때 상품이 나오지 않는다면 화가 날 것이다. 자판기를 쾅쾅 두드리지 않을까! 이 자판기는 망가진 것이다. 또한 단추 하나를 눌렀을 때 한꺼번에 두 개가 넘는 상품이 나오면 기분이 좋을 것이다. 하지만 이 자판기도 망가진 것이다. 

함수는 망가지지 않은 자판기에 비유할 수 있다. 버튼 하나에 반드시 상품을 하나씩만 잘 내놓는 기계가 함수다. 함수는 영어로 function인데 우리말로 기능이란 말로 옮겨질 때가 많다. 자판에 맨 윗줄에 있는 F1~F12까지 기능키를 생각하면 된다. 

중학교 교과서에선 함수를 아래와 같이 밝히고 있다.

두 변수 $x,\;y$에 대하여, 변수 $x$가 변함에 따라 $y$가 하나씩 정해진다면 $y$는 $x$의 함수라고 한다.

'변함에 따라'로 표현해서 대응으로 설명하던 옛날 방식과 조금 차이가 있다. 아직은 엄밀하게 정의하는 것이 이르기 때문에 조금은 모호하게 적었다고 생각한다.

다음과 같이 주어진 두 변수 $x,\;y$에 대하여 $y$는 $x$의 함수인가?

1.  한 변의 길이가 $x$cm인 정사각형의 둘레의 길이를 $y$라고 하자.
2.  $50$Km를 시속 $x$Km로 달리면 $y$시간이 걸린다. 
3. 자연수 $x$보다 작은 자연수를 $y$라고 하자. 
4.  6이하 자연수 $x$를 3으로 나눈 나머지를 $y$라고 하자. 

1,2,4는 함수고 3은 함수가 아니다. 4번이 조금 어렵다. 단추는 다르지만 같은 상품이 나올 수 있다. 잘 따라오다가 단추가 달라도 같은 상품이 나오는 것은 함수가 아니지 않을까 생각하기도 한다. '$y$는 $x$의 함수'와 '$x$는 $y$의 함수'를 구분하지 못해서 생기는 일이다. 바로 4번이 '$y$는 $x$의 함수'이지만 '$x$는 $y$의 함수'가 아닌 경우다.

처음 배우는 학생 가운데 1번처럼 되는 관계만 함수라고 생각하는 학생이 많다.

$$y=4x$$ 

$$x=\frac{1}{4}y$$

자꾸 이야기하면 점점 더 어려워진다. 그래서 교과서에서 4번과 같은 경우를 이야기하지 않는 것이다. 잘 이해가 된다면 4번까지 생각하고 그렇지 않다면 1,2,3만 생각해도 괜찮다. 당장은 아주 간단한 일차함수만 이해해도 충분하기 때문이다. 더 자세한 설명을 원한다면 아래 글을 참고하시라.

https://suhak.tistory.com/1184

함수를 나타내는 방법에 대한 생각