이등변삼각형의 성질

눈금 없는 자와 컴퍼스로 작도를 해보면 모든 도형은 원에서 만들어짐을 알 수 있다. 중학교 2학년에서 이등변삼각형의 성질을 배운다. 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형이다. 두 변이 주어진 길이를 가진 이등변삼각형을 작도해 보자. 주어진 길이를 반지름으로 하는 원을 그리고 원 위에 두 점 $A,\;B$를 잡는다. 왼쪽 그림과 같이 작도한 $\triangle OAB$는 $\overline{OA}=\overline{OB}$인 이등변삼각형이다. 

원의 중심 $O$와 선분 $AB$의 중점 $M$을 찾고 선분 $OM$을 긋는다.

이 때 만들어지는 두 삼각형은 세 변의 길이가 같으므로 합동이다.(SSS합동) 

$\overline{OM}$은 공통,  반지름이므로 $\overline{OA}=\overline{OB}$, 점 $M$이 중점이므로 $\overline{AM}=\overline{BM}$

$$\triangle OAM \equiv \triangle OBM\tag{1}$$

(1)에 따라 이등변삼각형이 가진 성질을 확인할 수 있다.

$$\angle OAM=\angle OBM\tag{2}$$

$$\angle AOM=\angle BOM\tag{3}$$

$$\angle OMA=\angle OMB=90^{\circ}\tag{4}$$

1. 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.
2. 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

(4)에서 3학년 과정에 있는 원에서 현의 수직이등분선은 중심을 지난다는 성질을 확인할 수 있다.

역으로 두 내각이 같은 삼각형은 이등변삼각형이 됨을 확인해 보자.

삼각형 $ABC$에서 $\angle A= \angle B$라고 하자.

$\angle C$의 이등분선을 그어 선분 $AB$와 만나는 점을 $D$라고 하자.

$\triangle ADC$와 $\triangle BDC$에서

$$\angle A= \angle B$$

$$\angle ACD= \angle BCD\tag{1}$$

이다. 삼각형의 내각의 합은 $180^{\circ}$이므로

$$\angle ADC= \angle BDC\tag{2}$$

$\overline{AD}$는 공통인 변이므로  ASA합동이다.

$$\triangle ADC \equiv \triangle BDC\tag{3}$$

$$\overline{AC}=\overline{BC}$$

두 내각이 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

어렵게 증명하지 않아도 종이접기를 생각하면 쉽게 파악할 수 있다.

아래 그림과 수직이등분선 위에 점 $C$를 잡으면 항상 $\overline {CA}=\overline{CB}$이다. 역으로 두 점 $A,\;B$가 있을 때 $\overline {CA}=\overline{CB}$인 모든 점 $C$는 선분 $AB$의 수직이등분선 위에 있다.

 

수직이등분선은 도형을 다루는 문제 해결에 필요할 때가 아주 많다.