삼각형의 내심
수학이야기/중학수학2 2022. 10. 4. 19:34먼저 각의 이등분선이 가지고 있는 성질을 알아보자.
$\angle AOB$의 이등분선 위에 있는 점 $P$에서 변 $OA$와 변 $OB$에 내린 수선의 발을 각각 $C$, $D$라 하자.
두 삼각형 $\triangle PCO$와 $\triangle PDO$에서
$$\angle PCO=\angle PDO=90^{o}$$
$$\overline{PO}\quad \text{공통}$$
$$\angle{POC}=\angle{POD}$$
$$\triangle PCO\equiv \triangle PDO\tag{RHA}$$
$$\therefore\;\;\overline{PC}=\overline{PD}$$
다시 정리하면 각의 이등분선 위에 있는 점에서 두 변에 이르는 거리는 같다. 역으로 두 변에서 같은 거리에 있는 점을 모두 이으면 각의 이등분선이 된다.
각의 이등분선을 이용하면 삼각형에서 특별한 성질을 가진 점을 찾을 수 있다.
삼각형 $ABC$에서 두 각 $\angle A$와 $\angle B$의 이등분선이 만나는 점을 $I$라 하자.
점 $I$에서 세 변 $AB$, $BC$, $CA$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자.
점 $I$는 $\angle A$의 이등분선이므로
$$\overline{ID}=\overline{IF}\tag{1}$$
점 $I$는 $\angle B$의 이등분선이므로
$$\overline{ID}=\overline{IE}\tag{2}$$
$$\therefore\;\;\overline{ID}=\overline{IE}=\overline{IF}\tag{3}$$
점 $I$에서 세 변에 이르는 거리가 같음을 보였다.
이제 점 $I$와 점 $C$를 잇는 직선 $IC$를 생각하자.
삼각형에서 세 변에 이르는 거리가 같은 점을 내심이라고 한다.
두 삼각형 $\triangle IEC $와 $\triangle IFC$에서
$$\angle IEC=\angle IFC=90^{o}$$
$$\overline{IC}\quad \text{공통}$$
$$\overline{IE}=\overline{IF}$$
$$\triangle PCO\equiv \triangle PDO\tag{RHS}$$
$$\therefore\;\;\angle{ICE}=\angle{ICF}\tag{4}$$
직선 $IC$는 $\angle C$의 이등분선임을 보였으므로 세 각의 이등분선은 한 점에서 만남을 알 수 있다.
점 $I$를 중심으로 그림과 같이 삼각형에 내접하는 원을 그릴 수 있다. 이 원을 내접원이라 하고 중심인 점 $I$를 내심이라 한다.
(3), (4)에 따라 내심은 아래와 같은 성질이 있다고 정리할 수 있다.
삼각형에서 세 각의 이등분선은 한 점(내심)에서 만나고 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같다.
