삼각형의 외심

알고 보면 원에서 모든 도형이 태어난다. 하지만 수학 시간에 삼각형을 먼저 다룬다. 유클리드 원론이 그렇게 쓰였기 때문이리라. 중학교 2학년 수학에서 이등변삼각형과 직각삼각형을 다루고 바로 삼각형의 외심을 다루게 된다.

지도에 많은 아파트가 보인다. 특정한 세 아파트에 있는 학생들을 위한 학교를 새로 짓는다고 하자. 어느 곳에 짓는 것이 좋을까? 땅값이나 교통편을 고려해야 하지만 이런 요소를 제외하고 단순하게 거리만 고려한다고 하자.

거리만 고려한다면 세 점 $A,\;\;B,\;\;C$에 이르는 거리가 모두 같은 점 $O$를 찾는 문제로 바꿔 생각할 수 있다. 과연 그런 점은 존재할까? 답은 '존재한다'. 그러면 어떻게 찾아야 할까? 이런 문제 해결에 바로 삼각형의 외심을 사용한다.

 

먼저 선분의 수직이등분선이 가지고 있는 성질을 알아보자.

아래 그림에서 삼각형의 합동으로 선분의 수직이등분선 위에 있는 점은 양 끝점까지 거리가 같음을 쉽게 확인할 수 있다.

$$\overline{AM}=\overline{BM},\;\angle PMA=\angle PMB,\;\overline{PM} 공통$$

$$\triangle PAM\equiv \triangle PBM\tag{SAS}$$

$$\therefore \overline{PA}=\overline{PB}$$

서로 다른 두 점에서 같은 거리에 있는 점을 모두 모으면 수직이등분선이 된다고 말할 수 있다. 따라서 아래와 같이 세 변의 수직이등분선을 그으면 세 점에 이르는 거리가 같은 점을 찾을 수 있다. 이렇게 찾은 점을 중심으로 하여 세 꼭짓점을 지나는 원을 삼각형의 외접원이라고 하고 중심을 외심이라 한다.

정리하면 아래와 같다.

삼각형에서 세 변의 수직이등분선은 한 점(외심)에서 만나고 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리는 같다.

외심에서 세 꼭짓점까지 거리가 같음을 보이기는 매우 쉽지만 세 직선이 한 점에서 만나는 것을 보이는 것은 쉽지 않다. 먼저 두 변의 수직이등분선이 만나는 점에서 나머지 한 변에 내린 수선의 발이 그 변을 이등분함을 보이는 것으로 증명할 수 있다. 교과서마다 실려 있지만 관심을 가지는 학생은 많지 않다. 선행학습으로 다져진 학생도 쉽게 생각하기 어려울 것이다.

증명)) $\triangle ABC$에서 두 변 $\overline{AB}$와 $\overline{BC}$가 만나는 점을 $O$라 하고 점 $O$에서 변 $\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 $D$라 하자.

선분 점 $O$는 $\overline{AB}$의 수직이등분선 위에 있으므로 

$$\overline{OA}=\overline{OB}\tag{1}$$

마찬가지로 점 $O$는 $\overline{BC}$의 수직이등분선 위에 있으므로 

$$\overline{OB}=\overline{OC}\tag{2}$$

$$\therefore\;\;\overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}\tag{3}$$

외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같음을 보였다.

$\triangle ODA$와 $\triangle ODC$에서

$$\angle ODA=\angle ODC=90^{\circ}\tag{4}$$

$$\overline{OA}=\overline{OC}\tag{5}$$

$$\overline{OD}는 \;\;\;공통\tag{6}$$

$$\triangle ODA\equiv \triangle ODC\tag{RHS}$$

$$\therefore\;\;\overline{AD}=\overline{CD}\tag{7}$$

(4)와 (7)에 따라 직선 $OD$는 선분 $AC$의 수직이등분선이다.

세 수직이등분이 한 점에서 만남을 보였다.

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세 수직이등분선이 한 점에서 만나므로 외심을 찾을 때는 수직이등분선을 둘만 그어도 된다. 이제 응용을 해보자. 아래 그림은 옛날 지붕에 올리던 기와의 수막새이다. 

참고 1932년 경주의 영묘사 터에서 아래 그림에 있는 독특한 수막새가 발견되었다. 7세기 무렵에 만든 것으로 추정되는 '얼굴무늬 수막새'이다. 안타깝게도 잘려나간 부분이 있지만 웃는 모습이 정겨워서 '신라의 미소'라고도 불린다.

문제 원형이 원이라고 한다면 부서진 수막새에서 원의 중심을 어떻게 찾을 수 있을까 생각해 보자.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

정답은 아래와 같다.
1. 부서지지 않고 남아 있는 원의 호 위에 세 점을 찍는다.
2. 1에서 찍은 세 점을 꼭짓점을 하는 삼각형의 외심을 찾는다.
3. 외접원을 그려서 복원한다.