내접원과 삼각형의 넓이

초등학교에서 삼각형 넓이를 구하는 공식을 배운다. 사실 초등학교 수준에서 이 공식을 완벽하게 이해하기는 쉽지 않지만 대부분 학생은 일단 외워서 잘 사용하고 있다.

삼각형 넓이$=\displaystyle{\frac {1}{2}}\times$ 밑변 $\times$ 높이

중학교에선 문자와 식을 배우니까 삼각형 $ABC$의 넓이 $A$는 아래와 같이 표현한다.

$$A=\frac{1}{2}ah\tag{1}$$

중학교 2학년에서 내심을 배우고 나면 삼각형의 넓이를 구하는 또 다른 공식을 하나 알게 된다. 먼저 그림과 같이 $\triangle ABC$의 내심을 $I$라고 하고 세 변에 내린 수선을 발을 각각 $D$, $E$, $F$라고 하자.

내심의 성질에 따라 $\overline{ID}=\overline{IE}=\overline{IF}$이고 이들은 내접원의 반지름의 길이와 같다.

내접원의 반지름을 $r$이라 놓자. (참고: 수학책에서 편하게 나타내기 위해 변의 길이는 아래와 같이 대각의 이름(건너편 꼭짓점 이름)을 소문자로 나타낸다.)

$$\overline{BC}=a,\;\;\overline{CA}=b,\;\;\overline{AB}=c$$

전체 삼각형의 넓이는 내심과 꼭짓점을 잇는 선분으로 나누어지는 세 삼각형의 넓이를 더한 것과 같다. 이것을 정리하면 삼각형의 넓이를 구하는 새로운 공식을 얻을 수 있다.

$$\begin{split}\triangle ABC&=\triangle IBC+\triangle ICA+\triangle IAB\\&=\frac{1}{2}\times a\times r+\frac{1}{2}\times  b\times r+\frac{1}{2}\times c \times r\end{split}$$

$$\therefore \;\;A=\frac{1}{2}r(a+b+c)\tag{2}$$

인수분해를 배우지 않아서 공식을 정리하는 과정이 익숙하지 않을 수 있어 교과서에 직접적으로 실려 있지 않지만 이 정도 정리는 전개만 알아도 쉽게 알 수 있을 것으로 생각한다. 

새로 만든 공식 (2)로 넓이를 구하려면 공식 (1)보다 주어진 정보가 많아야 한다. 세 변의 길이와 내접원의 반지름까지 알아야 한다. 공식 (2)는 삼각형의 넓이를 구할 때보다는 이미 세 변의 길이와 넓이가 주어진 삼각형에서 내접원의 반지름을 구할 때 사용한다.

사실 중학교 2학년 학생에게 출제하려면 제약이 아주 많다. 세 변의 길이와 내접원의 반지름의 길이가 모두 자연수인 삼각형을 만들기가 쉽지 않다. 이등변삼각형이나 직각삼각형처럼 모양이 특별하거나 피타고라스 정리까지 가르치고 난 다음에야 낼 수 있는 문제가 많아진다. 따라서 세 개의 삼각형으로 잘라서 넓이를 구할 수 있다는 사실을 이해했다면 굳이 공식을 외우지 않아도 된다.

문제 아래와 같은 삼각형의 내접원의 반지름을 구해보자.

https://suhak.tistory.com/1458

삼각형의 내심과 헤론의 공식