존 월리스 무한곱으로 원주율을 나타내다

작도가 원과 직선에서 출발하므로 기하는 원에서 시작한다고 말할 수 있다. 이런저런 이야기를 정리하다 보니 또다시 돌고 돌아 원주율이다. 조만간 원주율과 관련된 여러 이야기를 하나로 모아 정리하려고 자료를 찾고 있다. 수학 교사로 지낸 세월이 길어서 이제 어지간한 이야긴 다 아는 줄 알았는데 아니었다. 존 윌리스와 원주율 이야기를 먼저 정리해 둔다. 위키백과에서 수식은 옮겨 왔다.

존 월리스는 원주율을 아래와 같이 무한곱으로 나타낸 수학자이다. 도대체 이런 걸 어떻게 찾았는지 궁금하다. 그래서 내가 알 수 있는 방법을 따라 해 보기로 했다. 

$${\displaystyle \begin{array}{rl}\frac{\pi }{2}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})\\ & =(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3})\cdot (\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5})\cdot (\frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7})\cdot (\frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9})\cdot \cdots \end{array}}$$ 

귀납적으로 증명하려고 한다.

먼저, 정적분 $\displaystyle{\int_0^\pi \sin^n x\,dx}$을 $n$이 짝수와 홀수일 때를 각각 정리하자. 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& I(n)={\int }_0^{\pi }{\sin }^{n}xdx.\end{array}$$

부분적분을 쓰기 위해 아래와 같이 정하자.

$$\begin{array}{rl}u& ={\sin }^{n-1}x\\ \Rightarrow du& =(n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx\\ dv& =\sin xdx\\ \Rightarrow v& =-\cos x\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\Rightarrow I(n)& ={\int }_0^{\pi }{\sin }^{n}xdx\\ & =-{\sin }^{n-1}x\cos x{|}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }(-\cos x)(n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx\\ & =0+(n-1){\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}x{\sin }^{n-2}xdx,n>1\\ & =(n-1){\int }_0^{\pi }(1-{\sin }^{2}x){\sin }^{n-2}xdx\\ & =(n-1){\int }_0^{\pi }{\sin }^{n-2}xdx-(n-1){\int }_0^{\pi }{\sin }^{n}xdx\\ & =(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)\\ & =\frac{n-1}{n}I(n-2)\\ \Rightarrow \frac{I(n)}{I(n-2)}& =\frac{n-1}{n}\end{array}$$

편하게 쓰기 위해 변수를 바꿔서 두 가지 점화식을 얻는다. 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& I(2n)=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& I(2n+1)=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)\end{array}$$

나중에 쓰기 위해 $I(0)$와 $I(1)$의 값을 구하자.

$$\begin{array}{rl}I(0)& ={\int }_0^{\pi }dx=x{|}_0^{\pi }=\pi \\ I(1)& ={\int }_0^{\pi }\sin xdx\\ & =-\cos x{|}_0^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2\end{array}$$

짝수일 때를 점화식 (1)을 써서 $I(2n)$을 $I(0)$가 나올 때까지 차수를 줄여 보자.

$$I(2n)={\int }_0^{\pi }{\sin }^{2n}xdx=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2)=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}I(2n-4)$$

$$=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}\cdot \frac{2n-5}{2n-4}\cdot \cdots \cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}I(0)=\pi \prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}$$

마찬가지로 홀수일 때  $I(2n+1)$를 계산할 수 있다.

$$I(2n+1)={\int }_0^{\pi }{\sin }^{2n+1}xdx=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}I(2n-3)$$

$$=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-3}\cdot \cdots \cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}I(1)=2\prod _{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}$$

$\sin{x} \leq 1$이므로

$${\sin }^{2n+1}x\le {\sin }^{2n}x\le {\sin }^{2n-1}x,0\le x\le \pi$$

$$\Rightarrow I(2n+1)\le I(2n)\le I(2n-1)$$

$I(2n+1)$으로 나누면 아래와 같은 부등식을 얻는다.

$$\Rightarrow 1\le \frac{I(2n)}{I(2n+1)}\le \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}$$

스퀴즈 정리를 쓰자.

$$\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{I(2n)}{I(2n+1)}=1$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{I(2n)}{I(2n+1)}=\frac{\pi }{2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{k=1}^n(\frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k+1}{2k})=1$$

$$\Rightarrow \frac{\pi }{2}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2k}{2k-1}\cdot \frac{2k}{2k+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \cdots$$

위에 보이는 숫자로만 계산해 보니 원주율은 약 2.92571428571이다. 원주율에 그렇게 빠르게 접근하지는 않는다.