암산 훈련

아주 오래된 글을 재탕한다.

주위에서 셈이 엄청나게 빠른 이를 보았을 것이다. 암산에 뛰어났던 오일러처럼 될 수는 없다. 하지만 꾸준히 연습하면 누구나 조금 더 빠르고 정확한 곱셈을 할 수 있다. 

곱셈공식을 이용한 암산 방법을 소개한다. 

일의 자리가 5인 수의 거듭제곱

$5\times5=25$와 `15\times 15=225`인 것은 외워서 알고 있을 것이다. 

`35\times 35=1225`는 외우고 있는가? 나는 100이하의 모든 5의 배수의 거듭제곱을 모두 암산으로 할 수 있다.

\begin{split}35\times 35&=(30+5)(30+5)\\&=30^2 +2\cdot 5\cdot 30+25\\&=30(30+10)+25\\&=1225\end{split}이다. 

훨씬 복잡해 보이지만 이래야 수학이다. 수학은 일반화가 핵심이다.

이것을 일반화해 보자. 

$$\begin{split}a5\times a5&=(a\cdot 10+5)(a \cdot 10+5)\\&=a^2 \cdot 10^2 +2\cdot 5 \cdot a \cdot 10+25\\&=\overbrace{a(a+1)}\cdot 10^2 +25\end{split}$$

이다. `75\times 75`는 먼저 `7\times 8`을 적고 마지막에 `25`를 적어 `5625`라고 계산한다. `95^2 =9025`이다. 

연습해 보자.

$45^2=$ 

$55^2=$

$65^2=$

$85^2=$

$105^2=$

$115^2=$

일의 자리의 합이 10인 수인 경우

눈치가 빠르면 알 수 있다. 일의 자리 수를 더한 값이 10이면 마찬가지다.

$$\begin{split}(10m+a)(10m+b) &=100m^2 +10m(a+b) +ab\\&=100\overbrace {m(m+1)}+ab\end{split}$$

이므로 일의 자리의 수를 더한 값이 10인 경우에도 그대로 적용된다. 

`17\times 13=221`,`26\times 24=624`등과 같이 셈하면 된다. 

`26\times 24=(25+1)(25-1)=25^2 -1=224`와 같이 생각해도 된다. 

`37\times 33`은 `3\times 4=12` 그리고 `3 \times 7=21`이므로 `1221`이다. 재미있지 않은가? 

연습해 보자. 

`47\times 43= `

`58\times 52= `

$64\times 66=$

$73\times 77=$

`104\times 106= `

응용

잘 된다면 이번엔 `41\times 48`은 어떤가? 

먼저 `42\times 48=2016`한 다음 `48`을 빼는 것은 너무 힘들까?

$$41\times 48=(42-1)\times 48=42\times 48-48=1968$$

`(40+1)(50-2)=2000+50-80-2=1968`은 어떤가?

`72\times 68=(70+2)(70-2)=4900-4=4896`

`23\times 47=(20+3)(50-3)=1000+150-60-9=1081` 또는 `23\times 47=23(27+20)=621+460=1081`등으로 생각하여 암산하는 훈련을 해보자.

`42\times 68=`

`36\times 54=`

"아 머리 아프다!" 

"이것보다 더 복잡한 것은 어떻게 하나요?"

"그때는 계산기를 사용하자."

덧붙임

곱셈공식뿐만 아니라 인수분해 공식도  암산을 하는데 아주 유용하다.

`17\times 4+9\times17`가 암산이 되는가? 혹시 `68+153`으로 계산하고 있는 것은 아닌지.

`17`로 묶어내면 `17\times 13`답은 $221$.

반드시 그런 것은 아니지만 `ab+ac`는 `a(b+c)`로 계산하는 것이 간편하다.

`a^2 -b^2 =(a-b)(a+b)`도 잘 쓸 수 있다.

`12^2 -11^2 =`

`24^2 -22^2 =`

`46^2 -16^2 =`

곱셈공식이나 인수분해 공식은 계산을 편하기 위한 발명품이다. 현대 수학을 공부할 때 고도의 추상화가 필요하지만 때로는 지극히 실용적인 계산도 중요하다. 더군다나 중등학교 수준에선 빠르고 정확한 계산은 필수다.