e는 초월수이다.
수학이야기/Calculus 2023. 1. 25. 12:00수학에서 방정식을 푸는 일은 매우 중요하다. 방정식을 해결하는 방법을 연구하는 분야는 대수학(Alebra)으로 분류한다. 기하학 다음으로 오래된 분야라고 생각한다. 조금 어려운 이야기를 하고자 한다.
고대 수학자들도 유리수와 달리 정수의 비로 나타낼 수 없는 무리수가 존재한다는 사실을 알았다. 유리수 계수를 가지는 방정식을 풀다가 무리수인 해를 얻었다. 근대 수학자들은 과연 모든 수를 유리수와 가감승제와 거듭제곱해서 00을 만들 수 있을까 궁금했다. 달리 말하면 모든 수가 유리수 계수를 가진 방정식의 해가 되는가를 생각하기 시작했다. 당연히 일부 무리수는 유리수 계수 방정식의 해가 된다. 예를 들면 √22−2=0이므로 √2는 x2−2=0의 해가 된다.
0이 아닌 유리수 계수를 가지는 다항방정식의 근이 되는 수를 대수적 수라고 한다.
x=1+√5x−1=√5x2−2x+1=5x2−2x−4=0
x=1+ix−1=ix2−2x+1=−1x2−2x+2=0
(1), (2)에 따라 두 수 1+√5,1+i는 대수적 수이다.
레온하르트 오일러는 최초로 대수적 수와 초월수를 구분하고, 초월수가 존재할 것으로 추측했다. 1844년에 조제프 리우빌은 최초로 초월수인 리우빌 상수를 제시한다.
∞∑n=1110n!
리우빌 상수는 초월수의 존재를 증명하기 위해 특별히 만든 수이다. 수학에 자연스럽게 등장하는 수 가운데 처음으로 초월수임이 증명된 수는 오일러 상수 e이다. 샤를 에르미트가 1873년에 증명하였다.1882년에는 페르디난트 폰 린데만이 원주율 π가 초월수임을 증명함으로써 고대 그리스 수학의 난제였던 원적문제가 불가능함을 보였다. 대수적 수의 집합은 셀 수 있는 무한집합이다. 1874년에 게오르크 칸토어는 실수와 복소수의 집합이 비가산 집합임을 보였다. 따라서 대부분의 복소수는 초월수이다.
다비트 힐베르트는 1893년에 π와 e의 초월성에 대한 간단한 새로운 증명을 발견하였다. 1900년에 힐베르트는 인류가 풀어야 할 23문제를 제시하였다. "만약 a가 0 또는 1이 아닌 대수적 수이며 b 가 무리 대수적 수일 경우 ab가 초월수인가?"는 7번째 문제이다.
복소수 가운데 대수적 수가 아닌 수를 초월수라고 한다.
위에 적은대로 자연스러운 수 가운데 처음으로 초월수임이 밝혀진 수는 e이다. 찾아보니 e가 초월수임을 보이는 증명은 여러 가지가 있다. 그 가운데 하나를 일부 옮겨 적는다. 먼저 e를 무한급수로 나타내면 아래와 같음에서 시작하자.
e=∞∑n=01n!=1+1+12!+13!+⋯
e는 무리수이다.
e=a/b라고 가정하자. (a,b는 정수)
ab=1+1+12!+13!+⋯
ab=1+1+12!+13!+⋯+1b!+1(b+1)!+1(b+2)!+⋯
ab=1+1+12!+13!+⋯+1b!+1b!(1(b+1)+1(b+1)(b+2)+⋯)
R=1(b+1)+1(b+1)(b+2)+⋯라고 하면 0<R<1/b이다. 다시 적으면
ab=1+1+12!+13!+⋯+1b!+1b!R
ab×(b!)=(b!)×(1+1+12!+13!+⋯+1b!+1b!R)
정수=정수+R
이것은 모순이다.
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(3)을 변형하면 임의의 정수 m에 대하여 아래를 만족하는 정수 Im과 R이 존재한다.
e=1+1+12!+⋯+1m!+1(m+1)!+⋯
e=Imm!+Rm!(0<R<1m)
ae−b=0라고 하자.
m=b라고 놓으면
a(Ibb!+Rb!)=b
a(Ib+R)=b×b!
따라서 e는 1차 방정식의 해가 될 수 없다.
◼
ae2−be+c=0라고 하자. 다시 정리하면 ae+c/e=b이다.
1e=∞∑n=0(−1)nn!=1−1+12!−13!+⋯=Imm!+Rm!
(4), (5)를 대입하여 정리하면 마찬가지로 모순임을 보일 수 있다.
따라서 e는 2차 방정식의 해가 될 수 없다.
◼
일반화를 위해 아래와 같은 Γ-함수를 쓰자.
Γ(n+1)=∫∞0xne−xdx=n!(n∈N)
P(x)는 정수 계수인 다항식이라고 하자.
P(x)=n∑k=0akxkak∈Z
아래와 같이 적당한 정수 A가 항상 존재한다.
∫∞0xnP(x)e−xdx=n!×AA∈Z
정리하면
A=1n!∫∞0xnP(x)e−xdx
이것을 이용하면 임의의 자연수 n에 대하여 아래를 만족하는 정수 In과 분수 R를 찾을 수 있다.
en=InA+RA(In∈Z,0<R<1)
나머지는 영상을 참고하자.
아래 링크에 다른 증명 방법도 참고하자.
수학이야기님의
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