진자 운동을 해석하는 미분방정식

뉴턴과 라이프니츠 덕택에 우리는 변하는 양을 제대로 다룰 수 있게 되었다. 또한 많은 기호의 발명으로 말로는 아주 길게 설명해야 할 것을 아주 간결하게 나타낼 수 있게 되었다. 물론 수학의 언어로 쓴 식을  누구나 쉽게 해석할 수 없는 것이 문제다. 세상 모든 변하는 것은 함수로 나타낼 수 있다. 변하는 비율은 미분방정식으로 나타낼 수 있다. 따라서 오늘날은 어떤 분야이든 미분방정식이 지배하는 시대다.

과학에서 아주 오래된 탐구 과제인 진자운동이 있다. 이것을 미분방정식으로 나타내고 해를 구해 보기로 하자.

보기엔 간단한 운동이지만 막상 들여다 보면 이해하기 쉽지 않다.

진자는 원둘레를 따라서 움직인다. 변하는 양을 살펴보자. 시각에 따라 각이 변할 것이다. 시간을 $t$로 각은 $\theta$라고 하자. 움직인 거리 $s$는 각에 따라 결정된다. 진자의 속도와 가속도는 미분으로 구하면 된다.

$$s=l\theta$$

$$v=\frac{ds}{dt}=l\frac{d\theta}{dt}$$

$$a=\frac{d v}{dt}=l\frac{d^2 \theta}{d t^2}\tag{1}$$

뉴턴의 제2 운동법칙이 있다.

$$F=ma$$

위 그림에서 힘을 다시 적으면 아래와 같다.

$$F=-mg\sin\theta=ma$$

$$\therefore\;\;a=-g\sin\theta\tag{2}$$

$$l\frac{d^2 \theta}{d t^2}=-g\sin\theta$$

$$\frac{d^2 \theta}{d t^2}=-\frac{g}{l}\sin\theta\tag{3}$$

(3)에서 $\theta$가 아주 작다면 $\sin \theta\approx\theta$로 생각할 수 있다. 이것으로 (3)보다 쉬운 방정식으로 만들자.

$$\frac{d^2 \theta}{d t^2}=-\frac{g}{l}\theta\tag{4}$$

그렇다고 마냥 쉬운 것은 아니다. 자연스럽게 $\theta$를 $t$로 두 번 적분하면 될 것으로 생각할 수 있다. 하지만 불행하게도 우변을 $t$의 함수로 나타낼 수 없다. 따라서 $\theta$와 $t$ 사이의 관계를 찾아야 한다. 다행스럽게도 우리는 진동하는 운동임을 알고 있다. 적당한 상수 $A,\omega$를 써서 아래와 같이 나타낼 수 있다. $A$는 진폭의 크기, $\omega$는 각속도이다.

$$\theta=A\cos\omega t\tag{5}$$

$$\frac{d}{dt}(\cos\omega t)=-\omega\sin\omega t$$

$$\frac{d}{dt}(\sin\omega t)=\omega\cos\omega t$$

그러므로 (5)를 두 번 미분하면 아래와 같다. 

\begin{split}\frac{d^2 \theta}{d t^2}&=-A\omega^2 \cos \omega t\\&=-\omega^2 \theta\end{split}

(4)와 비교하여 $d^2 \theta/dt^2=-(g/l)\theta$에서 $\omega=\sqrt{g/l}$이다.

$$\theta=A\cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}} t\right)$$

다음으로 주기를 $T$라고 하자. 코사인 함수는 주기가 $2\pi$이다. 따라서 각속도 $\omega$는 아래와 같다.

$$\omega=\frac{2\pi}{T}$$

정리하면 주기를 구할 수 있다.

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\tag{6}$$

(6)으로부터 우리는 진자의 주기 $T$는 진폭 $A$와 상관없음을 알 수 있다. 다만 줄의 길이 $l$의 제곱근에 비례한다. 이것을 갈릴레오는 1609년 무렵 미적분의 도움없이 실험을 통해 발견했다.

 

 

다양한 다른 해설을 보고 싶다면 아래 링크를 참고하자.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mechanics) 

Pendulum (mechanics) - Wikipedia

https://suhak.tistory.com/856

단진자 운동 주기 간단치 않네