로제타 돌(Rosetta stone)과 파피루스 그리고 수학

1799년 나폴레옹이 이집트를 원정할 때 이름이 로제타인 동네에서 글씨로 가득한 돌이 발견되었다. 1801년 영국은 오스만 제국과 함께 프랑스군을 알렉산드리아에서 물리치고 로제타석을 런던으로 가져갔다. 1802년부터 대영박물관에 전시하고 있다.

이 돌에는 서로 다른 세 가지 글자로 적힌 기록이 있다. 내용을 요약하면 기원전 196년 이집트 사제 총회에서 발표한 포고령으로 파라오 프톨레마이오스가 이집트 백성에게 내린 은총과 그에 대한 감사의 표시로 사제들이 파라오에게 올린 영광을 상세히 기록한 내용이다.

가장 윗부분은 이집트 상형문자가 있다. 상형문자는 종교적인 의미를 가지는 신전이나 피라미드 벽에 쓰여 있다.

가운데는 이집트 민중문자(Demotic)이다. 민중문자는 상형문자보다는 덜 종교적인 텍스트에 쓰였다. 

마지막으로 가장 중요한 부분인 맨 아래는 그리스 문자로 쓰였다. 그리스 문자는 여전히 쓰이고 있는 문자이므로 완전히 사라진 이집트의 상형문자나 민중문자를 해독하는 열쇠가 되었다. 학자들은 그리스 문자로 된 부분을 해석하여 윗부분에 있는 글자가 나타내는 뜻을 찾을 수 있다고 생각했고 마침내 영국의 물리학자 토마스 영이 이집트 상형문자를 해독하였다.

갑자기 훈민정음 해례본이 떠오른다. 아무튼 로제타 돌을 통해 얻은 결과를 바탕으로 이집트의 여러 파피루스에 쓰인 내용을 알게 되었다.

모스크바 파피루스

모스크바 파피루스

왼쪽은 문제이고 오른쪽은 풀이이다.

문제 밑면은 한 변의 길이가 4인 정사각형, 윗면은 한 변의 길이가 2인 정사각형, 높이가 6인 정사각뿔대의 부피를 구하라.

풀이 4를 제곱하면 16이고 4를 두 배 하면 8이다. 2를 제곱하면 4이다. 이제 16과 8과 4를 모두 더하면 28이다. 6의 1/3은 2이다. 28에 2를 곱하면 56이다.

$$V=\frac{1}{3}(4^2 +4\times 2 +2^2)\times 6 =56$$

고대 이집트인이 정사각뿔대의 부피를 구하는 공식을 알고 있었다니 놀랍다.

밑면은 한 변의 길이가 $a$이고, 윗면은 한 변의 길이가 $b$이며 높이가 $h$인 정사각뿔대의 부피는 아래와 같음을 확인하자.

$$V=\frac{1}{3}(a^2 +ab+b^2)h$$

참고로 고대 바빌로니아 사람들은 같은 도형의 부피를 아래와 같이 계산했다고 한다.

$$V=\frac{1}{4}(a^2 +2ab+b^2)h$$

공식을 만들어 보자.

1. 먼저 닮음으로 위에 있는 정사각뿔의 높이 $x$를 구해보자.

$$a:b=x+h:x$$

$$x=\frac{bh}{a-b}$$

$$\therefore\;x+h=\frac{ah}{a-b}+h=\frac{ah}{a-b}$$

2. 큰 정사각뿔에서 작은 정사각뿔의 부피를 뺀다.

$$\begin{split}V& =\frac{1}{3} a^2 (x+h)-\frac{1}{3} b^2 x \\&=\frac{1}{3} a^2 \times \frac{ah}{a-b} - \frac{1}{3} b^2\times \frac{bh}{a-b} \\&=\frac{1}{3}\times\frac{(a^3 -b^3)h}{a-b}\\& =\frac{1}{3}(a^2 +ab+b^2)h\end{split}$$

요즘 수학으로는 쉽게 해결할 수 있지만 아라비아 숫자도 없이 이런 걸 계산하기는 매우 어렵다.

린드 파피루스

기원전 1650년경 만들어진 것으로 알려진 린드 파피루스에는 행정업무, 건설 등과 관련된 문제 84개가 기록되었다. 단위분수, 일차방정식 문제가 있고, 원기둥, 사각기둥의 부피와 원, 삼각형, 사다리꼴의 넓이를 구하는 문제가 있다. 이 파피루스를 만든 사람은 이집트의 서기관 아메스로 알려져 있다. 서문에 아래와 같이 쓰였다.

정교한 수학적 지식은 현재의 모든 지식과 신비로운 미지의 세계로 들어가는 통로이다.

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The Rosetta Stone - Download Free 3D model by The British Museum - Sketchfab