스트링 아트와 심장

스트링 아트는 실을 매어 어떤 모양을 만드는 것이다. 퍼즐과 같은 놀이로 다루기도 하지만 다르게 보면 수학 문제가 되기도 한다.

심장 곡선

원 위에 7개점을 찍고 각각 $P_n$라고 하자. 이때 곱셈을 아래와 같이 모듈러 곱셈으로 정의하자.

$m\times n=mn$을 7로 나눈 나머지

이제 점 $P_n$에서 시작해서 $P_{2n}$로 선분을 긋는다면 아래와 같은 그림을 얻을 수 있다.

$$P_1\rightarrow P_2 \rightarrow P_4 \rightarrow P_1$$

$$P_3\rightarrow P_6 \rightarrow P_5 \rightarrow P_3$$

점의 개수 $n$을 늘려가면서 같은 방식으로 그림을 그리면 새로운 곡선이 드러난다. 차례로 $n$이 22, 100, 200일 때 그림이다.

 

이 곡선은 심장을 닮았다는 뜻으로 카디오이드(cardioid)라고 부른다.

cardioid 심장곡선

이제 곱하는 수를 달리하면 아래와 같이 모양이 바뀐다.

에피사이클로이드

이 곡선의 이름은 에피사이클로이드이다. $n=200$일 때, 각각 3, 4,11을 곱해서 만든 것이다.

위에 있는 그림은 모두 지오지브라로 그렸다. 아래 링크를 열면 그림이 있다.

https://www.geogebra.org/classic/dnm5ktgr

지오지브라 클래식 - GeoGebra

카디오이드 마이크

카디오이드 곡선을 활용하여 특정한 방향의 소리만 더 잘 잡을 수 있는 마이크를 만들 수 있다고 한다.

카디오이드 마이크는 0도(축상)에서 가장 민감하고 180도(축외)에서 가장 민감하지 않다. 카디오이드의 유효 커버리지 또는 픽업 각도는 약 130도이며, 이는 마이크 전면에서 축에서 최대 약 65도이다. 또한 카디오이드 마이크는 옴니 마이크보다 약 1/3의 주변 소리만 포착한다. 단방향 마이크는 원하지 않는 축외 사운드와 주변 소음 모두에서 원하는 축상 사운드를 분리한다.

 

지오지브라 명령

1. $k=1$부터 $k=n$까지 점 $(\cos kt,\sin kt)$을 찍는 명령

sequence((cos(k*t),sin(k*t)),k,1,n)

2. $k=1$부터 $k=n$까지 두 점 $(\cos kt,\sin kt)$와 $(\cos k (i+1)t ,\sin k (i+1)t)$을 잇는 선분을 긋는 명령

sequence(segment((cos(k*t),sin(k*t)),(cos(k (i+1)t),sin(k (i+1)t))),k,1,n)