데카르트의 타원

주어진 두 점 $S$와 $T$으로부터 점 $P$까지 거리가 각각 $s$, $t$일 때, 상수 $m,\;\;a$에 대하여 $s+mt=a$를 만족한다면 점 $P$의 자취는 아래와 같다.

이 곡선을 카테시안 타원(Cartesian oval)이나 데카르트의 타원이라 부른다.

방정식을 찾아보자. 두 점 $S(0,0),\;\;T(c,0)$이고 $P(x,y)$라고 하자. 

$$\sqrt{x^2 +y^2}+m\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a\tag{1}$$

$$\sqrt{x^2 +y^2}-a= -m\sqrt{(x-c)^2+y^2} $$

양변을 제곱하여 정리하자.

$$x^2+y^2-2a\sqrt{x^2 +y^2}+a^2= m^2 \{(x-c)^2+y^2\} $$

$$ x^2+y^2 +a^2- m^2 \{(x-c)^2+y^2\} = 2a\sqrt{x^2 +y^2} $$

다시 양변을 제곱하여 정리하면 아래와 같다.

$$((1-m^2) (x^2+y^2)+2m^2cx+a^2-m^2c^2)^2=4a^2 (x^2+y^2)$$

이 곡선은 1637년 데카르트가 연구하였고 뉴튼은 3차 곡선으로 분류하였다.

이 곡선을 양극(bipolar) 방정식으로 표현하면

$$r+mr^{\prime}=a$$

$m=\pm1$이면 원뿔곡선이 된다. $m=a/c$를 만족할 때는 아래 그림과 같이 두 타원이 접하는 리마콘(limacon)이 된다.